Анотація до роботи:

Степаненко Н.В. Знакозмінні функції Ляпунова в теорії диференціальних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України. Київ, 2003.

Дисертаційна робота присвячена вивченню питань існування і інтегрального представлення функцій Ляпунова для лінійних систем диференціальних рівнянь, а також для лінійних розширень динамічних систем.

Встановлено, що існують лінійні розширення динамічних систем на торі, які є регулярними при довільних фіксованих вектор-функціях a(j)C_Lip(T_m) і, в той же час, для них не існує квадратичних форм з постійними коефіцієнтами, які мають знаковизначену похідну. Для лінійних розширень динамічних систем на торі знайдено класи матриць A(j) таких, що при довільних фіксованих вектор-функціях a(j)C_Lip(T_m) відповідна система є регулярною і зберігає цю властивість при розширенні кількості фазових змінних. Досліджено множини квадратичних форм, що зображуються в інтегральному вигляді, залежних від двох різних додатно визначених симетричних матриць. Встановлено, що для спряжених до строго слабо регулярних систем множини з двома симетричними матрицями є більш широкими, ніж множини з однією матрицею. Досліджено властивість регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі, нормальні змінні яких записано в канонічному вигляді. В термінах двох функцій Ляпунова знайдено нові умови регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі та лінійних систем диференціальних рівнянь.

Дисертаційну роботу присвячено вивченню питань існування і інтегрального представлення функцій Ляпунова для лінійних систем диференціальних рівнянь, а також для лінійних розширень динамічних систем. У роботі отримано наступні нові результати:

Встановлено, що існують лінійні розширення динамічних систем на торі, які є регулярними при довільних фіксованих вектор-функціях a(j)C_Lip(T_m) і, в той же час, для них не існує квадратичних форм з постійними коефіцієнтами, які мають знаковизначену похідну.

Для лінійних розширень динамічних систем на торі знайдено класи матриць A(j) таких, що при довільних фіксованих вектор-функціях a(j)C_Lip(T_m) відповідна система є регулярною і зберігає цю властивість при розширенні кількості фазових змінних.

Досліджено множини квадратичних форм, що зображуються в інтегральному вигляді, залежних від двох різних додатно визначених симетричних матриць. Встановлено, що для спряжених до строго слабо регулярних систем множини з двома симетричними матрицями є більш широкими, ніж множини з однією матрицею.

Досліджено властивість регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі, нормальні змінні яких записано в канонічному вигляді. В термінах двох функцій Ляпунова знайдено нові умови регулярності лінійних розширень динамічних систем на торі та лінійних систем диференціальних рівнянь.

_{Одержані результати і методика доведень мають, в основному, теоретичне значення. Строге математичне обґрунтування цих результатів визначає їх достовірність. Результати, отримані в даному напрямку, мають досить важливе значення в теорії інваріантних і інтегральних многовидів, в теорії автоматичного регулювання та в інших областях науки і техніки.}

Публікації автора:

1. Кулик Н.В. Знакозмінні функції Ляпунова і функція Гріна-Самойленка лінійних розширень динамічних систем // Нелінійні коливання.– 2000. –3, №3. – С.383 – 389.

2. Самойленко А.М., Степаненко Н.В. Про деякі властивості поведінки лінійних розширень динамічних систем на торі при збуренні фазових змінних // Укр. мат. журн. – 2002. –54, №3. – С.408 – 412.

3. Stepanenko N.V. On some properties of the set of Lyapunov’s functions in the theory of linear extensions of dynamical systems on the torus // Nonlinear Oscillations. – 2001. – 4, Num.4. – P.539 – 546.

4. Кулик В.Л., Степаненко Н.В. Про властивість регулярності деяких лінійних розширень динамічних систем на торі // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, №4. – С.568 – 574.

5. Кулик Н.В., Кулик В.Л. Про властивість регулярності на осі деяких лінійних систем диференціальних рівнянь. // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка (мат., мех.). – 2002. – Вип. 7 – 8. – С.33 – 37.

6. Степаненко Н.В. Регулярні на осі лінійні системи диференціальних рівнянь: Препр./ НАН України. Ін-т математики; 2002.4.– К.:2002. – 47с.

7. Самойленко А.М., Кулик В.Л., Кулик Н.В. Сохранение свойства регулярности линейного расширения динамической системы на торе при возмущениях // Тез. II Междунар. конф. “Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры” (Актобе, 15–19 жовтня 1999). – С. 47.

8. Кулик Н.В. Збереження регулярності при збуренні фазових змінних для лінійних розширень динамічних систем на торі // Український математичний конгрес – 2001: Тези доп. (додатковий том) (Київ 21 – 23 серп. 2001 р.). – Київ, 2001. – С. 12.

9. Степаненко Н.В. Вигляд квадратичних форм для регулярних лінійних систем диференціальних рівнянь // Дев’ята Міжнародна Наукова Конференція ім. акад. М. Кравчука (Київ 16 – 19 трав. 2002 р.). – Київ, 2002. – С. 192.

10. Кулик В.Л., Степаненко Н.В. Функції Ляпунова в теорії лінійних розширень динамічних систем на торі // Тезисы VI Крымской Международной математической школы МФЛ – 2002. – Крым, Алушта, 2002. – С.82.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору, академіку НАН України Самойленку Анатолію Михайловичу за постановку задач, постійну увагу і допомогу в роботі.