Анотація до роботи:

Посашков С. В. Змішані броунівські-дробово-броунівські моделі та їхнє застосування до теорії фільтрації та фінансової математики – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційну роботу присвячено змішаним броунівським-дробово-броунівським моделям. Для стохастичних диференціальних рівнянь, керованих сумішшю стандартного та дробового броунівського руху, доведено існування та єдиність розв'язку. Розглянуто задачу фільтрації у системі з процесом-сигналом, керованим сумішшю СБР та ДБР. У загальному випадку виведено рівняння для оптимального фільтру процесу-сигналу по процесу-спостереженню. Особливу увагу приділено лінійній системі: для неї виведено замкнену систему рівнянь для середнього оптимального фільтру та варіації помилки фільтрації. Для -ринку цінних паперів зі волатильністю, керованою як чистим дробовим броунівським рухом так і його сумішшю зі стандартним броунівським рухом, доведено безарбітражність та неповноту. використовуючи поняття мінімальної мартингальної міри, виведено вираз для справедливої ціни платіжного зобов'язання Європейського типу. У випадку присутності суміші СБР та ДБР у волатільності для ціни платіжного зобов'язання виведено диференціальне рівняння у частинних похідних.

У дисертації отримано наступні результати:

Доведено існування та єдиність розв'язків СДР, керованих сумішшю стандартного та дробового броунівського руху, зі стабілізуючим доданком.

Побудовано розв'язок СДР, керованого сумішшю ДБР та СБР, як границі розв'язків СДР зі стабілізуючим доданком в деякому повному просторі типу Бєсова.

Побудовано рівняння для оптимального фільтру у системі з процесом-сигналом, керованим багатовимірним дробовим броунівським рухом.

Побудовано замкнену систему рівнянь для лінійної системи з шумами у вигляді ДБР;

Побудовано рівняння для оптимального фільтру у системі з процесом-сигналом, який містить шум у вигляді поліному від дробового броунівського руху.

Виведено рівняння для оптимального фільтру системи, керованої сумішшю СБР та ДБР, зі стабілізуючим доданком в процесі-сигналі.

Побудовано замкнену систему рівнянь для лінійної системи, керованої сумішшю СБР та ДБР, зі стабілізуючим доданком в процесі-сигналі.

Виведено рівняння для оптимальної ціни хеджу платіжного зобов'язання європейського типу на ринку цінних паперів з волатильністю, керованою сумішшю стандартного та дробового броунівського руху.

Публікації автора:

[1] Посашков С. В. Дослідження (B,S)-ринку цінних паперів зі стохастичною волатільністю, керованою дробовим броунівським рухом / С. В. Посашков // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. – 2005. – №. 2. – С. 56 - 61.

[2] Посашков С. В. Оптимальна фільтрація у системах з дробовими броунівськими шумами зі стабілізуючим доданком у процесі-сигналі / С. В. Посашков // Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. – 2005. – №. 1-2. – С. 96 - 107.

[3] Посашков С. В. Оптимальна фільтрація у системах з дробово-броунівськими шумами / С. В. Посашков // Теорія ймовірностей і математична статистика. – 2005. – №. 72. – С. 120 - 128.

[4] Посашков С. В. Оптимальна ціна хеджу платіжного зобов'язання європейського типу / С. В. Посашков // Теорія ймовірностей і математична статистика. – 2007. – №. 77. – С. 133 - 140.

[5] Посашков С. В. Існування та єдиність розв'язку стохастичного диференціального рівняння, керованого дробовим броунівським рухом, зі стабілізуючим доданком / С. В. Посаш- ков, Ю. С. Мішура // Теорія ймовірностей і математична статистика. 2007. – №. 76. С. 117 - 124.

[6] Posashkov S. V. Existence and uniqueness of solution of mixed stochastic differential equation driven by fractional Brownian motion and Wiener process / S. V. Posashkov, Y. S. Mishura // Theory of Stochastic Processes. – 2007. – Vol. 29. – P. 152 - 165.

[7] Посашков С. В. Оптимальна фільтрація у випадку декількох дробово-броунівських шумів у процесі-сигналі / С. В. Посашков // Conference ``Functional methods in approximation theory, operator theory, stochastic analysis and statistics II''. Abstracts. – Київ: ВПЦ ``Київський університет'', 2004. – С. 97.

[8] Posashkov S. V. Existence and uniqueness of solution of stochastic differential equation, driven by fractional Brownian motion / S. V. Posashkov // International conference «Modern Stochastics: Theory and Applications». Conference materials. – Kyiv, Ukraine: ВПЦ «Київський університет», 2006. – P. 223.

[9] Posashkov S. V. Optimal filtering in systems with fractional Brownian signal noises / S. V. Posashkov // International conference «Modern problems and New Trends in Probability Theory». Abstracts II. – Chernivtsi, Ukraine: Інститут математики НАН України, 2006. – P. 72.