Романенко Олександр Вікторович. Застосування варіаційного принципу Швінгера до квантування систем у викривленому просторі: Дис... канд. фіз.-мат. наук: 01.04.02 / Київський національний ун-т ім. Тараса Шевченка. - К., 2002. - 189арк. - Бібліогр.: арк. 149-157.
Анотація до роботи:
Романенко О. В. Застосування варіаційного принципу Швінгера до квантування систем у викривленому просторі. — Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 — теоретична фізика.— Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.
Дисертацію присвячено аналізу структури квантової механіки на неевклідовому просторі та дослідженню нелінійних частинкоподібних конфігурацій у моделі Волкова-Акулова з нелінійною реалізацією суперсиметрії. З цією метою розглядається узагальнення схеми квантування за допомогою квантового варіаційного принципу, вперше запропонованої Швінгером, яке дозволяє коректно врахувати вплив геометрії простору на форму квантової теорії. Для аналізу були вибрані різні типи многовидів — однорідний (з різними способами реалізації групи ізометрій) та загальний ріманові простори, а також супермноговид. Виявилося, що структура квантової механіки в основному визначається властивостями ізометрій простору, зокрема розв'язками рівнянь Кіллінга. Методи, розвинені для квантово-механічних задач, були застосовані для польової моделі Волкова-Акулова з нелінійною реалізацією суперсиметрії. У наближенні Джеківа-Реббі в ній знайдений суттєво квантовий частинкоподібний розв'язок (який зникає у класичній границі) з характеристичним розміром порядку планківської довжини. Показано, що електростатичне поле, яке взаємодіє з таким об'єктом є скінченим в околі центру конфігурації і має звичайну кулонівську поведінку на периферії. Таке нелінійне польове утворення може розглядатись як модель елементарного заряду.
Основні результати, отримані у даній дисертаційній роботі можуть бути сформульовані наступним чином.
Виконане узагальнення схеми, сформульованої Швінгером для лінійної теорії, на випадок нелінійних моделей, які описують фізичну систему у просторі з груповою структурою (рімановому просторі). Розвинутий послідовний метод квантування квантово-механічної теорії, означеної в неевклідовому просторі.
Показано, що при побудові квантової механіки точкової частинки за допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу важливу роль грають ізометрії конфігураційного простору, які є розв'язками рівняння Кіллінга. Результати процедури квантування суттєво залежать від співвідношення між розмірністю групи ізометрій простору (незалежних розв'язків рівняння Кіллінга) та розмірністю простору.
За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу побудований оператор Лагранжа вільної точкової частинки у рімановому просторі, в якому виникає доданок типу потенціальної енергії суттєво квантового походження.
У випадку загального ріманового многовиду у квантовій теорії існує калібрувальна структура, яка відповідає стандартній теорії Калуци-Клейна. Для узагальненого простору станів квантово-механічна теорія будується неоднозначно — одній класичній теорії відповідає багато нееквівалентних квантових теорій, які нумеруються власними значеннями оператора Казиміра представлення групи ізотропії.
За допомогою узагальненого квантового варіаційного принципу показано, що у випадку загального ріманового многовиду (коли розмірність групи ізометрій менша за розмірність простору) квантова механіка є недовизначеною теорією. Цей факт проявляється в тому, що частину комутаційних співвідношень між операторами теорії не можна визначити однозначно, що є причиною з'явлення невизначених функцій координат в операторі Лагранжа. Використання процедури квантування на основі узагальненого квантового варіаційного принципу виявляє проблему (яку не відчувають інші методи квантування), але не розв'язує її. Така неоднозначність не є проблемою методу, для її усунення необхідна зовнішня інформація (можливо, експериментальна).
Побудована квантово-механічна теорія для точкової частинки у суперпросторі, індукованому суперсиметрією (“суперчастинка”) за допомогою квантового варіаційного принципу. Показано, що наявність змінних, які описуються фермі-статистикою приводить до некомутативності операторів координат . По цій причині у координатному представленні оператори координат реалізуються інтегральними операторами. Показано також, що простий зв'язок між представленнями операторів координати та імпульсу (через оператор диференціювання) — відсутній.
У нелінійній квантовій теорії поля, побудованій на основі моделі Волкова-Акулова з нелінійною реалізацією суперсиметрії, показане існування частинкоподібних конфігурацій суттєво квантового походження, що індукують метрику ріманового многовиду, який на периферії зводиться до простору Мінковського. У теорії поля, заданій на такому просторі, зникають розбіжності інтегралів руху. Зокрема, у випадку електростатичного поля потенціал є скінченим у початку координат і має звичайну кулонівську поведінку на великих відстанях. Таку несингулярну частинкоподібну конфігурацію із зарядом , спіном і розміром порядку планківської довжини можна розглядати як модель елементарного заряду. Проведений аналіз ілюструє також відоме твердження про те, що ефекти суперсиметрії, які на даний час не спостережувались безпосередньо, можуть бути суттєвими на надмалих просторових масштабах порядку планківських (де експерименти поки не проводяться).
Публікації автора:
1. Chepilko N. M., Fujii K., Romanenko A.V. Quantum fermi solitons caused by supersymmetry // Український Фізичний Журнал. — 1999 — т. 44 — С.15-24.
2. Chepilko N.M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwinger's Quantization Approach, I // European Physics Journal. — 2001 — v.C21 — p. 269-381.
3. Chepilko N.M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwinger's Quantization Approach, II // European Physics Journal. — 2001 — v.C21, — p. 587-595.
4. Chepilko N. M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwinger's Quantization Approach, III // European Physics Journal. — 2001 — v.C21, — p. 757-767.
5. Chepilko N. M., Romanenko A.V. Quantum mechanics on Riemannian Manifolds in Schwinger's Quantization Approach, IV // European Physics Journal. — 2001 — v.C22 — p. 601-611.
6. Chepilko N. M., Fujii K., Romanenko A.V. Quantum supersymmetric fermi-solitons // Proceedings of the International Conference “Non-Euclidean Geometry in modern physics” hailed in Uzhhorod, Kiev-1997 — p.136-148.
