Анотація до роботи:

Доманська О.В. Задачі для стаціонарних рівнянь та нерівностей зі змінними показниками нелінійності. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню коректності крайових задач для нелінійних еліптичних рівнянь в необмежених областях зі змінними показниками нелінійності та асоційованих з ними варіаційних нерівностей. Для нелінійних еліптичних рівнянь зі змінними показниками нелінійності (які можуть містити лінійні рівняння), а також для варіаційних нерівностей, асоційованих з цими рівняннями, встановлено однозначну розв’язність відповідних задач при певних припущеннях на поведінку розв’язку та зростання вихідних даних на нескінченності. Також отримано три класи рівнянь: квазілінійні рівняння та системи другого порядку, анізотропні рівняння та системи другого порядку та квазілінійні рівняння вищих порядків, крайові задачі для яких однозначно розв’язні без будь-яких умов на нескінченності. Крім того, доведена неперервна залежність розв’язків досліджуваних задач від вихідних даних (коефіцієнтів, вільних членів та граничних функцій). Аналогічні результати отримані для нелінійних варіаційних нерівностей.

Дисертація присвячена питанню коректності крайових задач для нелінійних еліптичних рівнянь в необмежених областях зі змінними показниками нелінійності та асоційованих з ними варіаційних нерівностей.

До цього часу проблема коректності крайових задач в необмежених областях розглядалась практично тільки у випадку рівнянь зі сталими показниками росту, а для нерівностей зі змінними показниками нелінійності в необмежених областях ця проблема не досліджувалась.

З відомих результатів стосовно коректності крайових задач для стаціонарних рівнянь у необмежених областях можна зробити висновок, що є два види рівнянь. Один з них складається з тих рівнянь, крайові задачі для яких є однозначно розв’язними при певних припущеннях на поведінку розв’язку та зростання вихідних даних на нескінченності. До них, зокрема, належать лінійні рівняння. Одним з ефективних методів дослідження питання однозначної розв’язності крайових задач для рівнянь першого виду є запропонований О.Олійник та Г.Йосіф’яном і розвинений А.Шишковим метод, який базується на аналозі принципу Сен-Венана. Тут (розділ 5) цей метод поширюється на нелінійні еліптичні рівняння зі змінними показниками нелінійності, а також на варіаційні нерівності, асоційовані з цими рівняннями. До другого виду рівнянь належать ті, крайові задачі для яких однозначно розв’язні без будь-яких умов на нескінченності. Ці рівняння описані в роботах Х.Брезіса, Ф.Берніса та інших. У даній роботі узагальнюються ці рівняння, а також доповнюються рівняннями зі змінними показниками нелінійності з такими ж властивостями. У результаті отримано три класи рівнянь: квазілінійні рівняння та системи другого порядку (розділ 2), анізотропні рівняння та системи другого порядку (розділ 3) та квазілінійні рівняння вищих порядків (розділ 4). Крім того, доведена неперервна залежність розв’язку від вихідних даних (коефіцієнтів, вільних членів та граничних функцій) досліджуваних задач. Аналогічні результати отримані для нелінійних варіаційних нерівностей.

У проведених тут дослідженнях використовуються певні модифікації відомих методів, зокрема, описаних у роботах А.Шишкова, Ф.Берніса. Також важливою підставою для отримання результатів цієї роботі є теорія узагальнених просторів Лебега та Соболєва.

Публікації автора:

1. Бокало М.М., Кушнір О.В. Про коректність крайових задач для квазілінійних еліптичних систем в необмежених областях // Математичні Студії. – 2005. – Т. 24, № 1. – С. 69–82.

2. Бокало М.М., Кушнір О.В. Варіаційні нелінійні еліптичні нерівності зі змінними показниками нелінійності // Науковий вісник Чернівецького університету. Математика. – 2006. – Вип. 288. – С. 28–38.

3. Бокало М.М., Кушнір О.В. Варіаційні нелінійні еліптичні нерівності вищих порядків зі змінними показниками нелінійності // Вісник Львів. ун-ту. Cерія мех.-мат. – 2006. – Вип. 66. – С. 20–35.

4. Доманська О.В. Крайові задачі для нелінійних еліптичних рівнянь вищих порядків без умов на нескінченності // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2007. – Т. 50, № 4. – C. 19–33.

5. Доманська О.В. Нелінійні еліптичні рівняння в квазіциліндричних областях // Вісник Львів. ун-ту. Серія мех.-мат. – 2007. – Вип. 67. – С. 104–118.

6. Bokalo M., Domanska O. On well-posedness of boundary problems for elliptic equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces // Mathematychni Studii. – 2007. – Vol. 28, № 1. – P. 77–91.

7. Бокало М.М., Кушнір О.В. Крайові задачі для слабо нелінійних еліптичних систем в необмежених областях // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана. Чернівці, 27 червня – 3 липня 2004 р. Тези доповідей. – Чернівці: Рута. – 2004. – С. 20–21.

8. Бокало М.М., Кушнір О.В. Варіаційні нелінійні еліптичні нерівності зі змінними показниками нелінійності // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: XII Всеукраїнська наукова конференція. Львів, 4–6 жовтня 2005 р. – Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка. – 2005. – С. 37–38.

9. Бокало М.М., Кушнір О.В. Про коректність крайових задач для нелінійних еліптичних рівнянь вищих порядків зі змінними показниками нелінійності // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Київ, 18–20 травня 2006 р. Матеріали конференції. – К.: НУТУ “КПІ”. – 2006. – С. 333.

10. Бокало М.М., Кушнір О.В. Варіаційні нелінійні еліптичні нерівності вищих порядків зі змінними показниками нелінійності // Differential Equations: International Conference. Lviv, September 12–17, 2006. Book of abstracts. – Львів: Видавничий центр Львівського національного університету імені Івана Франка. – 2006. – С. 13–14.

11. Бокало М.М., Кушнір О.В. Про коректність крайових задач для нелінійних еліптичних рівнянь в анізотропних просторах // Диференціальні рівняння та їх застосування. Чернівці, 11–14 жовтня, 2006р. Тези доповідей. – Чернівці: Рута. – 2006. – С. 17.

12. Доманська О.В. Варіаційні еліптичні нерівності в анізотропних узагальнених просторах Лебега-Соболєва // Всеукраїнська наукова конференція молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвячена 100-річневому ювілею Я.Б.Лопатинського. Донецьк, 6–7 грудня 2006 р. Тези доповідей. – Донецьк: Видавництво Донецького національного університету. – 2006. – С. 55–56.

13. Доманська О.В. Крайові задачі для нелінійних еліптичних рівнянь у псевдоциліндричних областях // Міжнародна математична конференція ім. В.Я.Скоробогатька. Дрогобич, 24–28 вересня, 2007р. Тези доповідей. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”. – 2007. – С. 96.

14. Domanska O. On well-posedness of boundary problems for systems of elliptic equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces // Lyapunov Memorial Conference. International conference on the occasion of the 150th birthday of Aleksandr Mikhailovich Lyapunov. Kharkiv, June 24–30, 2007. Book of abstracts. – Kharkiv: Verkin Institute of Low Temperature Physics and Engineering of NASU, 2007. – P. 39–40.

15. Domanska O. Nonlinear elliptic equations in unbounded domains // Topics in Nonlinear PDEs: CIM/UC Summer School. Coimbra (Portugal), July 22–27, 2007. – Coimbra: CMUC, 2007. – P. 12–13.

16. Domanska O. Systems of elliptic variational inequalities with anisotropic nonlinearity // Nonlinear Partial differential equations: International Conference dedicated to the memory of I.V.Skrypnik. Yalta, September 10–15, 2007. – Donetsk, 2007. – P. 24–25.