Анотація до роботи:

Ратушняк В.П. Задача Коші для рівнянь параболічного типу з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2009.

Дисертація присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів та ультрарозподілів, при цьому описуються простори основних та узагальнених функцій, вивчаються властивості перетворення Фур’є, згорток, згортувачів та мультиплікаторів у таких просторах, досліджуються властивості фундаментального розв’язку.

Дисертацiя присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів. Такі рівняння є важливими з точки зору застосувань у теорії параболічних псевдодиференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними, теорії перетворення Фур’є, узагальнених функцій.

У дисертацiйнiй роботi вперше одержано такі результати:

доведено теореми про перетворення Фур’є простору Ф, описана топологічна структура простору, який є Фур’є-образом простору основних функцій Ф;

знайдено необхiднi й достатнi умови, якi характеризують клас згортувачiв – узагальнених функцiй iз просторiв Ф; дослiдженi властивостi перетворення Фур’є таких узагальнених функцiй;

знайдено умови, за яких у просторі основних функцій Ф визначений і є неперервним псевдодиференціальний оператор нескінченного порядку, побудований за негладким однорідним символом;

досліджені властивості фундаментального розв’язку задачі Коші як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторі Ф, встановлені оцінки похідних ФРЗК, доведена диференційовність (по t) згортки ФРЗК з довільною узагальненою функцією з простору Ф; вивчено поведінку вказаних згорток при t +0 у просторі узагальнених функцій Ф;

встановлено коректну розв’язність задачі Коші в класі згортувачів, який збігається з множиною початкових значень гладких розв’язків вказаних рівнянь; при цьому розв’язок подається у вигляді u(t, x) = (g G)(t, x), g (G – ФРЗК), u(t, ) при кожному t (0, T] належить до простору основних функцій, але граничне значення u(t, ) при t +0 існує вже в просторі узагальнених функцій Ф;

встановлено коректну розв’язність задачі Коші для абстрактного еволюційного рівняння з невід’ємним самоспряженим оператором з суто дискретним спектром у класі початкових умов, які ототожнюються з лінійними неперервними функціоналами типу ультрарозподілів.

Публікації автора:

1. Городецький В.В. Задача Коші для рівнянь параболічного типу з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку / Василь Васильович Городецький, Валерій Петрович Ратушняк // Доповіді НАН України. – 2006. – № 9. – С. 12-16.

2. Боднарук С.Б. Задача Коші для одного класу еволюційних рівнянь нескінченного порядку / С.Б.Боднарук, В.В. Городецький, В.П. Ратушняк // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. праць. Вип. 191 – 192. Математика. – Чернівці: Рута, 2004. – С. 10 – 17.

3. Ратушняк В.П. Псевдодиференціальні оператори нескінченного порядку / В.П. Ратушняк // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. праць. Вип. 269. Математика. – Чернівці: Рута, 2005. – С. 94 – 100.

4. Городецький В.В. Про один клас псевдодиференціальних операторів нескінченного порядку та їх застосування / Василь Васильович Городецький, Валерій Петрович Ратушняк // Науковий вісник Чернівецького університету: Зб. наук. праць. Вип. 239. Математика. – Чернівці: Рута, 2005. – С. 25 – 36.

5. Городецький В.В. Множини початкових значень гладких розв’язків одного класу еволюційних рівнянь нескінченного порядку / Василь Васильович Городецький, Валерій Петрович Ратушняк // X Міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука, 13 – 15 травня, 2004 р., Київ: Матеріали конференції. – К.: Задруга, 2004. – С. 347.

6. Городецький В.В. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь нескінченного порядку / Василь Васильович Городецький, Валерій Петрович Ратушняк // Міжнародна конференція, присвячена 125-річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня – 3 липня, 2004 р., Чернівці, Україна). Тези доповідей. – Чернівецький національний університет: Рута, 2004. – С. 27.

7. Городецький В.В. Псевдодиференціальні оператори нескінченного порядку, побудовані за негладкими символами / Василь Васильович Городецький, Валерій Петрович Ратушняк // Міжнародна математична конференція ім. В.Я.Скоробагатька (27 вересня – 1 жовтня, 2004 р., м. Дрогобич). Тези доповідей. – Львівська політехніка, 2004. – С. 61.

8. Городецький В.В. Псевдодиференціальні рівняння параболічного типу нескінченного порядку / Василь Васильович Городецький, Валерій Петрович Ратушняк // Диференціальні рівняння та їх застосування. Міжнародна конференція, присвячена 60-річчю кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету. Тези доповідей. – Київ, 2005. – С. 25.

9. Городецький В.В. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку / Василь Васильович Городецький, Валерій Петрович Ратушняк // Диференціальні рівняння та їх застосування. Міжнародна конференція. Тези доповідей. – Чернівці: Рута, 2006. – С. 144.

10. Ратушняк В.П. Еволюційні рівняння нескінченного порядку з оператором, спектр якого є суто дискретним / В.П.Ратушняк // XІ Міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука, 18 – 20 травня, 2006 р., Київ: Матеріали конференції. – К.: Задруга, 2006. – С. 568.

11. Ратушняк В.П. Еволюційні рівняння з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку / В.П.Ратушняк // XІІ Міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука, 15 – 17 травня, 2008 р., Київ: Матеріали конференції. – К.: Задруга, 2008. – С. 171.