Анотація до роботи:

Шевчук Н.М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання та псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку. –

Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці, 2009.

Дисертація присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва, гармонійним осцилятором нескінченного порядку та псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів та ультрарозподілів, при цьому, встановлюються умови, за яких вказані оператори визначені і є неперервними у відповідних просторах основних функцій, даються зображення розв’язків, досліджуються властивості фундаментальних розв’язків.

Дисертація присвячена розвитку теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання, псевдо-Бесселевими операторами нес-

кінченного порядку та гармонійним осцилятором нескінченного порядку (рівняння з необмежено зростаючими при коефіцієнтами) в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів та ультрарозподілів. Такі рівняння є природним узагальненням диференціально-операторних рівнянь параболічного типу і є важливими з точки зору застосувань у теорії параболічних псевдодиференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними нескінченного порядку.

У дисертаційній роботі вперше одержано такі результати:

– знайдено умови коректної визначеності та неперервності операторів узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва як скінченного, так і нескінченного порядків у просторах типу , а також операторів узагальненого інтегрування у цих просторах;

– встановлено розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання у просторах типу та просторах узагальнених функцій (аналітичних функціоналів) типу ; знайдено зображення розв'язків вказаних задач;

– у просторі побудовано гармонійний осцилятор нескінченного порядку, який є неперервним у цьому просторі; знайдено зображення гладких розв'язків еволюційних рівнянь з таким оператором; встановлено існування граничних значень гладких розв'язків вказаних рівнянь у просторах узагальнених функцій типу ультрарозподілів;

– доведено коректну розв'язність задачі Коші для еволюційних рівнянь з гармонійним осцилятором нескінченного порядку у певних підпросторах узагальнених функцій типу ;

– побудовано наближені розв'язки задачі Коші для рівняння гіперболічного типу з виродженням, яке містить гармонійний осцилятор нескінченного порядку, дається оцінка швидкості збіжності в залежності від гладкості початкових функцій;

– знайдено умови, за яких у просторі основних функцій визначений, є лінійним і неперервним псевдо-Бесселевий оператор нескінченного порядку;

– досліджені властивості фундаментального розв'язку задачі Коші (ФРЗК) для еволюційного рівняння з таким оператором як абстрактної функції часового параметра із значеннями у просторі , встановлені оцінки похідних ФРЗК, доведена диференційовність (по ) згортки ФРЗК з довільною узагальненою функцією з простору ; вивчена поведінка вказаних згорток при у просторі узагальнених функцій ;

– встановлено коректну розв'язність задачі Коші для еволюційного рівняння з псевдо-Бесселевим оператором нескінченного порядку у певному підпросторі простору (класі згортувачів), знайдено зображення розв'язку задачі Коші у вигляді згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцією типу розподілів.

Публікації автора:

1. Городецкий В.В. Эволюционные уравнения с операторами обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева. І / Василий Васильевич Городецкий, Наталия Михайловна Шевчук // Дифференц. уравнения. – 2008. – Т. 44, №4. – С. 480 – 490.

2. Городецкий В.В. Эволюционные уравнения с операторами обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева. ІІ / Василий Васильевич Городецкий, Наталия Михайловна Шевчук // Дифференц. уравнения. – 2008. – Т. 44, № 6. – С. 785 – 794.

3. Гома Н.М. Еволюційні рівняння з гармонійним осцилятором у просторах типу та / Наталія Михайлівна Гома, Василь Васильович Городецький // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. пр. Вип. 269. Математика. – Чернівці: Рута, 2005. – С. 13-25.

4. Шевчук Н.М. Наближені розв'язки задачі Коші для гіперболічного рівняння з виродженням / Н.М. Шевчук // Науковий вісник Чернівецького університету: зб. наук. пр. Вип. 336-337. – Математика. – Чернівці: Рута, 2007. – С.197-205.

5. Шевчук Н.М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку / Н.М. Шевчук // Науковий вісник Чернівецького університету : зб. наук. пр. Вип. 374. – Математика. – Чернівці: Рута, 2008. – С.145-154.

6. Городецький В.В. Оператори Гельфонда-Леонтьєва у просторах типу / Василь Васильович Городецький, Наталія Михайлівна Гома // XI Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Матеріали конференції. – К.: Задруга, 2006. – С. 520.

7. Шевчук Н.М. Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку /Н.М.Шевчук // XIІ Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Матеріали конференції. – К.: Задруга, 2008. – С. 444.

8. Городецький В.В. Множини початкових значень гладких розв'язків еволюційних рівнянь з гармонійним осцилятором / В.В.Городецький, Н.М. Гома // Матеріали IV міжнародної науково-практичної конференції "Динаміка наукових досліджень 2005". Том 27. Математика. – Дніпропетровськ: Наука і освіта, 2005. – С. 5-8.

9. Шевчук Н.М. Про одне узагальнення операцій диференціювання у просторах типу / Н.М. Шевчук // Материалы II Международной научно-практической конференции "Стратегические вопросы мировой науки – 2007 ". Том 8. Математика. Физика. Современные информационные технологии. – Днепропетровск: Наука и образование, 2007. – С. 5-7.

10. Шевчук Н.М. Наближені розв'язки еволюційного рівняння гіперболічного типу / Н.М. Шевчук // Материалы III Международной научно-практической конференции "Эффективные инструменты современных наук – 2007". Том 9. Технические науки. Строительство и архитектура. Математика. Физика. Химия и химические технологии. – Днепропетровск: Наука и образование, 2007. – С. 22-26.

11. Городецький В.В. Задача Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва / Василь Васильович Городецький, Наталія Михайлівна Шевчук // Диференціальні рівняння та їх застосування. Міжнародна конференція, 11-14 жовтня, 2006 р., тези доповідей. – Чернівці: Рута, 2006. – С.26.