Анотація до роботи:

Пискун М.М. Узагальнено нормальні підгрупи та їх вплив на структуру групи. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню груп, у яких система узагальнено нормальних підгрупп є досить великою у деякому сенсі. Конкретніше. Підгрупа H групи G називається майже нормальною в G, якщо множина підгруп, спряжених з H у групі G є скінченною, або, що рівносильно, нормалізатор підгрупи H має скінченний індекс у групі G. Підгрупа H групи G називається наближено нормальною в G, якщо H має скінченний індекс у своєму нормальному замкненні H^G. Ці підгрупи були введені до розгляду Б. Нейманом. Він показав, що якщо всі підгрупи групи є майже нормальними (відповідно наближено нормальними), то група має центр скінченного індексу (відповідно скінченний комутант). Вивчення впливу системи майже нормальних підгруп на будову групи проводилось багатьма авторами. Вивчення впливу системи наближено нормальних підгруп на будову групи не було таким широким, але зараз вона значно активізувалось, зокрема в роботах італійських математиків.

Таким чином, вивчення властивостей систем майже нормальних та наближено нормальних підгруп та їх впливу на структуру усієї групи є актуальною задачею, що має свою історію та своє специфічне коло питань. До цієї тематики відноситься і дана дисертаційна робота.

Нехай A – частково впорядкована множина. Для елементів a, b A визначимо замкнений інтервал з кінцями a, b як підмножину [a, b] = { x A a x b }. Визначимо тепер відхилення dev(A) частково впорядкованої множини A за наступним правилом.

Якщо порядок на A є тривіальний, то покладемо dev(A) = – .

Якщо порядок на A нетривіальний, а такий, що А задовольняє умову мінімальності, то покладемо dev(A) = 0.

Використовуючи трансфінітну індукцію для порядкового числа a визначимо dev(A) = a у випадку, коли dev(A) b < a та для кожного спадаючого ланцюжка a₁ a₂ . . . a_n . . . елементів множини A усі замкнені інтервали [a_n, a_{n + 1} ], за виключенням скінченної множини, мають відхилення менше ніж a.

Скажемо тепер, що частково впорядкована множина A має відхилення, якщо знайдеться порядкове число a, для якого dev(A) = a.

Нехай тепер G – група та S – деяка система її підгруп. Цю множину S можна розглядати як частково впорядковану множину відносно теоретико- множинного включення. Якщо S має відхилення, то у цьому випадку будемо говорити, що система S має вимірність Крулля та будемо розуміти під цією вимірністю відхилення частково впорядкованої системи S.

У роботі отримано опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля; опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є майже нормальними, має вимірність Крулля; опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є нормальними, має вимірність Крулля; опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких кожна підгрупа, що не є майже поліциклічною, майже поліциклічно наближена до нормальної.

Одна з перших задач теорії груп, яка зберігає своє значення і до цього часу, полягає у вивченні впливу на будову групи систем L_n(G) підгруп групи G, що мають властивість n для найбільш важливих природних властивостей n. У цьому напрямку важливою є задача вивчення будови груп, у яких система L_n(G) підгруп групи G, що мають властивість n, є дуже велика чи система L_non-n(G) підгруп групи G, що не мають властивості n, є дуже мала для найбільш важливих природних властивостей n. У даній дисертаційній роботі розглядаються узагальнено радикальні групи, у яких системи підгруп L_non-nn(G) та L_non-an(G), що не є майже нормальними та наближено нормальними, мають вимірність Крулля. Зауважимо, що для інших важливих властивостей – нормальності та субнормальності, аналогічні дослідження також тільки починаються. В дисертаційній роботі отримано наступні результати:

опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є наближено нормальними, має вимірність Крулля;

опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є майже нормальними, має вимірність Крулля;

опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких система підгруп, що не є нормальними, має вимірність Крулля;

опис груп, що мають зростаючий ряд нормальних підгруп з локально нільпотентними та локально скінченними факторами, у яких кожна підгрупа, що не є майже поліциклічною, майже поліциклічно наближена до нормальної.

Всі результати дисертаційної роботи мають строге доведення і застосовують різноманітні теоретико-групові методи.