Анотація до роботи:

Чмир О.Ю. Узагальнені крайові задачі для півлінійних параболічних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2006.

Дисертація присвячена розв’язності крайової задачі для півлінійного параболічного рівняння та квазілінійної параболічної системи при заданих на межі області узагальнених функціях із D'.

У дисертаційній роботі за допомогою відомих властивостей матриці Ґріна та встановлених оцінках значень спряжених операторів Ґріна на функціях з інтегровними особливостями на межі області, використовуючи теорему Шаудера та принцип стисних відображень, одержано достатні умови існування (та єдності) розв’язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною. Крім того, встановлено умови внутрішньої гладкості розв’язку, знайдено порядок степеневих особливостей розв’язку (точкових та на всій межі області).

У дисертаційній роботі знайдено достатні умови розв’язності крайової задачі для квазілінійної параболічної системи в обмеженій області, коли функції, задані на межі області, є узагальненими із просторів типу D'. Знайдено умови внутрішньої гладкості розв’язку.

У дисертації отримано такі нові результати:

1) знайдено оцінки значень спряжених операторів Ґріна нормальної крайової задачі для параболічної системи диференціальних рівнянь на функціях з особливостями на всій межі області;

2) для нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри з параболічним ядром одержано достатні умови існування та єдиності його розв'язку у ваговому L¹-просторі, визначено характер особливостей (точкових та на всій межі області) розв’язку цього рівняння;

3) встановлено умови рівнозначності двох формулювань узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи з лінійною головною частиною при крайових даних із просторів узагальнених функцій типу D';

4) знайдено достатні умови розв'язності цієї задачі, умови внутрішньої гладкості розв'язків та порядки їх степеневих особливостей (точкових та на всій межі області).

Узагальнену крайову задачу для квазілінійної параболічної системи зведено до нелінійної системи інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерри з параболічним ядром у ваговому L¹-просторі. Тому умови розв’язності таких задач встановлено з використанням умов розв’язності цих інтегро-диференціальних рівнянь, а також з використанням властивостей спряжених операторів Ґріна крайової задачі, відомих та доведених в дисертації.

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути застосовані в теорії узагальнених крайових задач для диференціальних рівнянь у частинних похідних і при подальших дослідженнях рівнянь математичної фізики.

Публікації автора:

1. Чмир О.Ю. Про формулювання узагальненої крайової задачі для півлінійного параболічного рівняння // Вісник. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2003. – Вип.62.– С. 134 – 143.

2. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про деякі властивості спряжених операторів Ґріна параболічної крайової задачі // Наук. вісник Чернів. ун-ту: зб. наук. пр. Математика. Чернівці ЧДУ. – 2004. – Вип.191-192. – С. 82 – 88.

3. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Узагальнені крайові значення розв'язків рівняння

u_t = Du+F₀ (x, t, u) // Математичні Cтудії. – 2004. – Т.22, № 1. – С. 45 – 56.

4. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про розв'язність першої крайової задачі для рівняння u_t = Du+|u|^1+b у класі узагальнених функцій // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2004. – Т.47, № 4. – С. 125–130.

5. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Розв'язок нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри з особливостями на межі області // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С. 134 – 148.

6. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Існування та регулярність розв'язків узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійних параболічних систем // Матем. Вісник наук. тов-ва ім. Т.Г.Шевченка. – 2005. – Т.2. – С. 123–134.

7. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про формулювання узагальненої крайової задачі для півлінійного параболічного рівняння // IX Міжнар. наук. конф. ім. ак. М. Кравчука (16 – 19 травня 2002р., м. Київ). Матер. конф. – К.: НТУУ “КПІ”. – 2002. – С. 126.

8. Lopushanska H., Chmyr O. The boundary value problem for semilinear heat equation with data-generalized functions // Int. Conf. on “Functional analysis and its applications” dedicated to the 110-th anniversary of Stefan Banach (Lviv, May 28 – 31, 2002). Book of abstr. – Lviv: Вид. центр Львів. нац. ун-ту ім. І. Франка. – 2002. –P. 54.

9. Lopushanska H., Chmyr O. On some properties of Green’s operators of a parabolic boundary value problem in classes of functions with power specialities on the boundary of a domain // Міжнар. наук. конф. “Шості Боголюбовські читання” (26 – 30 серпня 2003р., м. Чернівці). Тези доп. – Київ. – 2003. – С. 289.

10. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про розв’язність першої крайової задачі для рівняння u_t = Du+|u|^b u в класі узагальнених функцій // III Всеукр. наук. конф. “Нелінійні проблеми аналізу” (9 – 12 вересня 2003р., м. Івано-Франківськ). Тези доп. – Івано-Франківськ: Вид-во “Плай”. – 2003. – С. 59.

11. Чмир О.Ю. Узагальнені крайові значення розв’язку рівняння u_t = D u+F₀ (x,t,u,u_x) // Конф. мол. учених із суч. проблем мех. і мат-ки ім. ак. Я. С. Підстригача (24 - 26 травня 2004р., м. Львів). Тези доп. – Львів. – 2004. – С. 168.

12. Чмир О.Ю. Про розв'язність інтегрального рівняння в одному ваговому функціональному просторі // Міжнар. матем. конф. ім. В. Я. Скоробогатька (27 вересня - 1 жовтня 2004р., м. Дрогобич). Тези доп. – Львів: Полігр. центр вид-ва нац. ун-ту “Львівська політехніка”. – 2004. – С. 225.

13. Чмир О.Ю. Про розв'язки з точковими особливостями нелінійного інтегрального рівняння Вольтерри // Конф. мол. учених із суч. проблем мех. і мат-ки ім. ак. Я. С. Підстригача (24 - 27 травня 2005р., м. Львів). Тези доп. – Львів. – 2005. С. 326.

14. Чмир О.Ю. Про розв'язки узагальнених нормальних крайових задач для квазілінійних параболічних систем рівнянь з лінійними головними частинами // XI Міжнар. наук. конф. ім. ак. М. Кравчука (18 - 20 травня 2006р., м. Київ). Матер. конф. – К.: НТУУ "КПІ". – 2006. – С. 650.

15. Lopushanska H., Chmyr O. The character near the boundary of domain of the generalized normal boundary value problem solution for the quasilinear parabolic systems // Int. Conf. on “Differential equations” dedicated to the 100-th anniversary of Ya.B.Lopatynsky (Lviv, September 12 – 17, 2006). Book of abstr. – Lviv: Вид. центр Львів. нац. ун-ту ім. І. Франка. – 2006. – P. 117–118.