Анотація до роботи:

Меньшикова О.В. Скінченновимірні редукції нелінійних динамічних систем типу Кортевега–де Фріза та їх повна інтегрованість. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2007.

Дисертація присвячена застосуванню та розвитку методу скінченновимірних редукцій нелінійних динамічних систем типу Кортевега–де Фріза (КдФ) на локальні та нелокальні підмноговиди їх розв’язків та доведенню їх інтегровності.

У дисертаційній роботі за допомогою методу скінченновимірних редукцій на інваріантні підмноговиди Новікова–Богоявленського побудовано гамільтонів формалізм на локальних та нелокальних інваріантних підмноговидах інверсних бігамільтонових динамічних систем, заданих на функціональних многовидах. Для нелінійної модифікованої динамічної системи КдФ знайдено представлення типу Лакса. З використанням методу tanh-функцій, побудовані солітонні розв’язки для інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та для інверсної модифікованої нелінійної динамічної системи КдФ. Досліджено двовимірні та чотиривимірні локальні редукції інваріантних підмноговидів інверсної динамічної системи КдФ та знайдено її точні квазіперіодичні часткові розв’язки. Доведена інтегровність нелокальної скінченновимірної редукції інверсної динамічної системи Каупа–Броера та її зв’язок з інверсним рівнянням Бюргера. Доведена інтегровність за Ліувіллем скінченновимірної нелокальної редукції типу Мозера інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та інверсної модифікованої системи КдФ.

У дисертації отримано такі нові результати:

1) Реалізовано градієнтно-голономний алгоритм знаходження ієрархії законів збереження та знайдено представлення типу Лакса для інверсної модифікованої нелінійної динамічної системи КдФ.

2) За допомогою розширеного методу tanh-функції знайдено солітонні розв’язки нелінійної інверсної динамічної системи КдФ, нелінійної інверсної модифікованої динамічної системи КдФ та побудовано їх графічне зображення. Доведено, що розв’язки інверсної модифікованої динамічної системи КдФ мають вигляд тангенса гіперболічного, а інверсної динамічної системи КдФ вигляд тангенса гіперболічного в квадраті

3) Вивчено скінченновимірні локальні редукції типу Новікова–Богоявленського інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та їх інтегровність за Ліувіллем–Арнольдом у квадратурах. Досліджено диференціально-геометричні властивості зредукованих інваріантних підмноговидів. За допомогою введення сепарабельних координат Гамільтона–Якобі знайдено квазіперіодичні часткові розв’язки інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та виведено рівняння, які визначають відповідні частоти еволюції за змінною x на торі отриманих розв’язків

4) Досліджена інтегровність нелокальної скінченновимірної редукції інверсної динамічної системи Каупа–Броера та її зв’язок з інверсним рівнянням Бюргерса. Знайдена симплектична структура отриманого нелокального скінченновимірного інваріантного підмноговиду М_N..

5) Доведена інтегровність за Ліувіллем скінченновимірної нелокальної редукції типу Мозера інверсної нелінійної динамічної системи КдФ та інверсної модифікованої динамічної системи КдФ.

Дисертація має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані при дослідженні нелінійних динамічних систем, у теорії поля, нелінійної оптики, гідродинаміки, а також в інших галузях сучасної теоретичної та математичної фізики.

Публікації автора:

1. Притула М.М., Воробйова О.В. Побудова зв’язності Картана та асоційованих нелокальних скінченновимірних редукцій на інтегральному джет-підмноговиді для інверсної модифікованої динамічної системи Кортевега–де Фріза // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2003.– 46, № 3. – С. 61-73.

2. Воробйова О.В, Притула М.М. Солітонні розв’язки для інверсного рівняння Кортевега–де Фріза // Нелінійні коливання. – 2003. – 6, № 1. – С. 15-20.

3. Воробйова О.В., Притула М.М. Скінченновимірні нелокальні редукції інверсної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Укр.мат.журн. –2004. – 56, № 2. – С. 160-168.

4. Притула М.М., Воробйова О.В. Застосування методів комп’ютерної алгебри для дослідження інтегровності нелінійних динамічних систем на функціональних многовидах // Вісн. Львів. ун-ту. Серія прикл. матем. та інформ. – 2000. – Вип. 2. – С.67-71.

5. Притула М.М., Воробйова О.В., Гентош О.Є. Гамільтонова інваріантна редукція динамічної системи Каупа–Броера // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика. – 2000.– Вип.3.– С. 118-124.

6. Воробйова О.В., Гентош О.Є., Притула М.М. Скінченновимірна інваріантна редукція інверсної динамічної системи Каупа–Броера // Вісн. Львів. ун-ту. Серія прикл. матем. та інформ. – 2005. – Вип. 10. – С.9-18.

7. Воробйова О.В., Притула М.М. Аналіз повної інтегровності чотиривимірної редукції нелінійної інверсної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Мат.вісник НТШ. – 2005. – Т. 2. – С. 26-48.

8. Меньшикова О.В., Притула М.М. Солітонні розв’язки для інверсної модифікованої нелінійної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Мат.вісник НТШ. – 2006. – Т. 3. – С. 88-94.

9. Воробйова О.В., Притула М.М. Аналіз повної інтегровності чотиривимірної редукції нелінійної інверсної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Intеrnational conference on differential equations dedicated to the 100^th anniversary of Ya.B.Lopatynsky (September 12-17, 2006, Lviv). Book of abstracts. – Lviv. – 2006. – C. 16-17.

10. Воробйова О.В., Притула М.М. Інтегральні многовиди інверсної модифікованої динамічної системи Кортевега–де Фріза // Міжнародна наукова конференція „П’яті Боголюбовські читання. Теорія еволюційних рівнянь” (22-24 травня 2002р, м.Кам’янець–Подільський). Тези доповідей. – Київ. – 2002. – С. 39.

11. Воробйова О.В., Притула М.М. Симплектичні структури, асоційовані із скінченновимірними локальними редукціями та їх повна інтегровність // Одинадцята Міжнародна наукова конференція ім. академіка М.Кравчука (18-20 травня 2006 р., м.Київ). Матеріали конференції. – К.: НТУУ "КПІ". – 2006. – С. 373.

12. Притула М.М., Воробйова О.В. Гамільтонова інваріантна редукція нелінійної інверсної системи Кортевега–де Фріза // Сьома всеукраїнська наукова конференція „Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики” (19-21 вересня 2000р., м.Львів). Тези доповідей. – Львів. – 2000. – С. 77.

13. Притула М.М., Воробйова О.В. Інтегральні многовиди інверсної нелінійної динамічної системи Кортевега–де Фріза // Міжнародна наукова конференція „Нові підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (1-5 жовтня 2001р., м.Дрогобич). Тези доповідей. – Київ. – 2001. – С. 124.

14. Притула М.М., Воробйова О.В. Інтегрованість та солітонні розв’язки інверсної модифікованої системи Кортевега–де Фріза // Десята Міжнародна наукова конференція ім. М.Кравчука (13-15 травня 2004 р., м.Київ). Матеріали конференції. – Київ. – 2004. – С. 67.

15. Притула М.М., Воробйова О.В. Скінченновимірні локальні редукції інверсної модифікованої системи Кортевега–де Фріза // Матеріали міжнародної науково-практичної конференції „Диференціальні рівняння та їх застосування” (06-09 червня 2005р., м.Київ). Тези доповідей. – Київ. – 2005. – С. 90.

16. Притула М.М., Воробйова О.В. Солітонні розв’язки інверсного модифікованого рівняння Кортевега–де Фріза // Міжнародна математична конференція ім. В.Я.Скоробагатька (27 вересня – 1 жовтня 2004р., м.Дрогобич). Тези доповідей. – Львів: Поліграфічний центр видавництва нац. ун-ту “Львівська політехніка”. – 2004. – С. 46.