Анотація до роботи:

Савастру О.В. Розподіл значень арифметичних функцій на спеціальних послідовностях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра та теорія чисел.– Київський університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, 2005 р.

У дисертації побудована асимптотична формула для суматорної функції несиметричної функції дільників в арифметичній прогресії на множині натуральних чисел та над кільцем цілих гаусових чисел. Також досліджені тригонометричні суми , і доводиться ряд їх властивостей.

У другому розділі роботи доводиться результат для кількості розв’язків діофантового рівняння у цілих гаусових числах , з умовою .

У розділі 3 розглядається задача про кількість розв’язків нерівності у цілих для фіксованих дійсних , де - зростаючий параметр, яка є узагальненням класичних задач Гауса про кількість цілих точок у колі і Дирихле про кількість цілих точок під гіперболою. Основний результат цього розділу доводиться з використанням теорії дзета-функції Епштейна, оцінки Ван дер Корпута для тригонометричних сум і нових оцінок тригонометричних сум спеціального виду.

У четвертому розділі побудоване наближене функціональне рівняння для , отримана оцінка другого моменту дзета-функції Епштейна. У випадку, коли рід квадратичної форми є однокласним, теорема про другий момент має більш завершений вигляд.

У розділі 5 досліджено розподіл кількості зображень цілих гаусових чисел у вигляді , де просте гаусове число, а належить арифметичній прогресії .

У дисертації побудована асимптотична формула для суматорної функції несиметричної функції дільників в арифметичній прогресії , яка використовується при рішенні багатьох задач статистичної теорії чисел. У роботі досліджена тригонометрична сума

і доводиться ряд її властивостей. Зокрема, показано, що

,

що дозволило довести основну теорему першого розділу.

Двомірний аналог цієї теореми доводиться за допомогою отриманої оцінки узагальненої суми Клостермана над кільцем :

і аналога співвідношення Н.В. Кузнєцова для раціональних сум Клостермана.

У другому розділі роботи доводиться результат для кількості рішень діофантового рівняння у цілих гаусових числах , з умовою . Отриманий результат є узагальненням класичної адитивної задачі дільників, що досліджувалася в роботах A. E. Ingham, T. Estermann, D.R. Heath-Brown, Д. Ісмоілова, A. Ivic, Y. Motohashi. Зауважимо, що близька задача про кількість рішень діофантового рівняння з умовою , розглядалася в роботах R.Smith – M.Subbarao, Д. Ісмоілова, Г. Бєлозьорова, П. Д. Варбанця та ін. На жаль, методи спектральної теорії автоморфних форм (які використовував Y.Motohashi у задачі про кількість рішень діофантового рівняння ) застосувати не вдається.

У третьому розділі розглядається задача про кількість рішень нерівності у цілих для фіксованих дійсних , де - зростаючий параметр, яка є узагальненням класичних задач Гауса про кількість цілих точок у колі і Дирихле про кількість цілих точок під гіперболою. Основний результат цього розділу доводиться з використанням теорії дзета-функції Епштейна, оцінки Ван дер Корпута для тригонометричних сум і нових оцінок тригонометричних сум спеціального виду. Цей результат по силі аналогічний оцінці G. Kolesnik для функції .

У теорії дзета-функції Римана і її застосуваннях важливе місце займають оцінки моментів -го порядку. Ряди Дирихле для і дзета-функції Епштейна дуже “схожі”. У четвертому розділі отримана оцінка другого моменту дзета-функції Епштейна. Основним методом побудови асимптотичних оцінок другого і четвертого моментів для є метод, заснований на застосуванні наближених функціональних рівнянь для й . У роботі також використовується цей метод. Крім того, побудоване наближене функціональне рівняння для . У випадку, коли рід квадратичної форми є однокласним, теорема про другий момент має більш завершений вигляд.

У розділі 5 досліджено розподіл кількості зображень цілих гаусових чисел у вигляді , де просте гаусове число, а належить арифметичній прогресії .

Публікації автора:

1. Savastru O.V. The non-symmetric divisor function in arithmetic progression // Matematychni Studii – 2002. – Vol.18, No.2. – P. 115–124.

2. Savastru O.V. Distribution of the non-symmetric divisor function over in arithmetic progression // Вісник Київського університету, Серія: фіз. - мат. Науки. – 2002. – № 3. – С. 56–59.

3. Savastru O.V., Varbanets P.D. An additive divisor problem in // Algebra and discrete Math. – 2003. – No.1. – P. 103–110.

4. Fugelo N., Savastru O. An asymptotic formula in generalization divisor problem // Book of abstracts of 4^th International Algebraik Conference in Ukraine. Lviv: Ivan Franco National University of Lviv. –2003. – P.71–72.

5. Савастру О. В. Обобщенная задача делителей // Тезисы докладов VI Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 100-летию Н. Г. Чудакова. Саратов: Саратовский государственный университет им Н. Г. Чернышевского. – 2004. –С.104 –105.

6. Савастру О. Распределение значений функции простых делителей гауссовых чисел // Тези доповідей Міжнародної конференції пам’яті В.Я. Буняковського. Київ: Інститут математики Національної академії наук України. –2004. – С.116–117.

7. Savastru O.V., Varbanets P.D. On the mean square of the Epstein zeta-function // Algebra and discrete Math. –2005. – No.1. – P. 99 –115.