Лагно Віктор Іванович. Реалізації алгебр Лі груп локальних перетворень та груповий аналіз нелінійних диференціальних рівнянь: дисертація д-ра фіз.-мат. наук: 01.01.02 / НАН України; Інститут математики. - К., 2003.
Анотація до роботи:
ЛАГНО В.І.Реалізації алгебр Лі груп локальних перетворень та груповий аналіз нелінійних диференціальних рівнянь. — Рукопис. — Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико–математичних наук зa спеціальнiстю 01.01.02 — диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2003.
Дисертація присвячена розробці та розвиненню методів класичного групового аналізу диференціальних рівнянь. Запропоновано й обгрунтовано новий конструктивний метод розв'язування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь з частинними похідними. З використанням цього методу здійснено групову класифікацію загального квазілінійного рівняння еволюційного типу в двовимірному просторі–часі. Для ряду отриманих рівнянь з високими симетрійними властивостями проведено симетрійну редукцію та знайдено їх інваріантні розв'язки. Побудовано універсальну лінійну конструкцію конформно–інваріантних анзаців, яким відповідає редукція відомих конформно–інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь. З використанням методу симетрійної редукції отримано ряд конформно-інваріантних багатопараметричних сімей точних розв'язків рівнянь Максвелла у вакуумі. Проведено симетрійну редукцію SU(2) рівнянь Янга–Міллса в просторі Мінковського за підгрупами рангу 3 групи Пуанкаре P(1,3) та розширеної групи Пуанкаре до систем звичайних диференціальних рівнянь. Побудовано багатопараметричні сім'ї точних розв'язків цих рівнянь. Вивчено реалізації (зображення в класі векторних полів Лі) алгебр Лі груп O(3), O(1,2), O(4), O(2,2). Описано коваріантні реалізації алгебр Лі ряду важливих груп локальних перетворень (груп Пуанкаре, Евкліда, Галілея та їх природних розширень). Отримано найбільш загальний вигляд диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку в двовимірному просторі-часі, які інваріантні відносно груп Пуанкаре та Галілея.
Дисертаційна робота присвячена розробці і розвиненню методів сучасного групового аналізу диференціальних рівнянь. Автором вперше одержано такі наукові результати:
Запропоновано й обгрунтовано новий конструктивний метод розв'язування задачі групової класифікації диференціальних рівнянь.
Повністю розв'язано задачу групової класифікації для двовимірного рівняння теплопровідності з нелінійним джерелом загального вигляду.
Повністю розв'язано задачу групової класифікації для загального двовимірного квазілійного рівняння еволюційного типу.
Побудовано універсальну лінійну конструкцію конформно-інваріантних анзаців для довільного векторного поля, яким відповідає редукція конформно-інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь.
З використанням побудованих анзаців отримано багатопараметричні сім'ї конформно-інваріантних розв'язків системи рівнянь Максвелла у вакуумі.
Здійснено повну процедуру симетрійної редукції SU(2) рівнянь Янга–Міллса в просторі Мінковського до систем звичайних диференціальних рівнянь за підгрупами групи Пуанкаре та розширеної групи Пуанкаре.
Отримано багатопараметричні сім'ї точних розв'язків SU(2) рівнянь Янга–Міллса в просторі Мінковського.
Проведено повний опис коваріантних реалізацій алгебр Лі групи Пуанкаре P(n,m), розширеної групи Пуанкаре та конформної групи C(n,m) у випадку однієї залежної функції.
Побудовано усі реалізації алгебр Лі груп O(3) ,O(4) та O(1,2), O(2,2) в класі векторних полів Лі у довільному скінченновимірному просторі дійсних змінних.
Знайдено нові коваріантні реалізації алгебр Лі груп Евкліда E(3), E(4) та Пуанкаре P(1,2), P(2,2) у випадку довільної скінченної кількості залежних змінних.
Отримано нові (нековаріантні) реалізації алгебр Лі груп Пуанкаре та Галілея в просторах малої розмірності, що дало можливість побудувати ще невідомі класи пуанкаре–та галілей–інваріантних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку у двовимірному просторі-часі.
Запропонований в роботі метод групової класифікації диференціальних рівнянь дозволяє розширити коло рівнянь, для яких повне розв'язання задачі групової класифікації є конструктивним. Результати групової класифікації нелінійних рівнянь еволюційного типу дозволяють здійснити повний груповий аналіз таких рівнянь з нетривіальними симетрійними властивостями, що є особливо актуальним внаслідок використання рівнянь цього типу для опису процесів різної природи.
Побудована лінійна конструкція конформно–інваріантних анзаців, яким відповідає симетрійна редукція конформно–інваріантних систем диференціальних рівнянь з частинними похідними до систем звичайних диференціальних рівнянь, значно скорочує об'єм рутинної обчислювальної роботи, яку потрібно виконати під час дослідження конкретних систем. Зокрема, її використання дозволилo здійснити побудову ряду багатопараметричних сімей точних розв'язків SU(2) рівнянь Янга–Міллса в просторі Мінковського, для яких використання інших методів інтегрування виявилося малоефективним.
Нарешті, нові реалізації алгебр Лі ряду груп локальних перетворень можуть бути використаними для побудови загальних класів диференціальних рівнянь з частинними похідними, які матимуть нетривіальні симетрійні властивості.
Запропоновані й розвинені в дисертаційній роботі методи дозволяють здійснити суттєве просування у вирішенні ряду класичних проблем сучасного групового аналізу диференціальних рівнянь.
Публікації автора:
Zhdanov R.Z., Lagno V.I. On separability criteria for a time-invariant Fokker–Planck equation// Доп. АН України. — 1993.— № 2.— P.18–21.
Fushchych W.I., Lagno V.I., Zhdanov R.Z. On nonlinear representation of the conformal algebra AC(2,2) // Доп. АН України. — 1993. — № 9. — C.44–47.
Zhdanov R.Z., Lahno V.I. On the new exact solutions of the Yang–Mills equations// Доп. АН України.— 1994. — № 8. — C.26–31.
Fushchych W., Zhdanov R. and Lagno V. On linear and non–linear representations of the generalized Poincar groups in the class of Lie vector fields // J. Nonlin. Math. Phys. — 1994. — 1, №3. — P.295–308.
Zhdanov R.Z., Lahno V.I., Fushchych W.I. Reduction of the self-dual Yang–Mills equations. I. The Poincar group // Укр. мат. журн. — 1995. — 47, №4. — C.456–462.
Lahno V., Zhdanov R., Fushchych W. Symmetry reduction and exact solutions of the Yang–Mills equations// J. Nonlin. Math. Phys. — 1995. — 2, № 1. — P.51–72.
Лагно В.I., Смалiй В.Ф. –інваріантні анзаци для поля Максвелла // Доп. НАН України.— 1996. — № 12. — С. 49–54.
Лaгно В.І. Про нові зображення груп Пуанкаре та Евкліда // Доп. НАН України.— 1996. — № 8. — C.14–18.
Lahno V. On Poincar-invariant reduction and exact solutions of the Yang–Mills equations // J. Nonlin. Math. Phys. — 1996. — 3, №3–4. — P.291–295.
Lahno V. Conformally invariant ansatze for the Maxwell field // J. Nonlin. Math. Phys. — 1997. — 4, № 3–4. — P.392–400.
Лагно В.І. –інваріантна редукція рівнянь Янга–Міллса до систем звичайних диференціальних рівнянь // Доп. НАН України. — 1997. — № 7. — C.21–26.
Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Conditional symmetry of a porous medium equation // Physica D. — 1998. — 122. — P.178–186.
Lahno V. On new relativistically invariant nonlinear equations in two-dimensional space-time // Rep. Math. Phys. — 1998. — 41, №3. — P.271–277.
Lahno V.I. On new Galilei–invariant equations in two-dimensional space-time // J. Phys. A: Math. Gen. — 1998. — 31, №42. — P.8511–8519.
Фущич В.І., Лагно В.І. Лiнійні та нелінійні зображення груп Галілея в двовимірному просторі-часі // Укр. мат. журн. — 1998. — 50, №3. — C.414–423.
Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Group classification of heat conductivity equations with a nonlinear source // J. Phys. A: Math. Gen. — 1999. — 32.— P. 7405–7418.
Zhdanov R.Z., Lahno V.I., Fushchych W.I. On covariant realizations of the Euclid group // Commun. Math. Phys. — 2000. — 212. — P.535–556.
Lahno V.I. Realizations of the Poincar algebra and Poincar-invariant equations in three-dimensional space-time // Rep. Math. Phys. — 2000. — 46, №2. — P.137–142.
Жданов Р.З., Лагно В.И. О новых реализациях групп Пуанкаре P(1,2) и P(2,2)// Укр. мат. журн. — 2000. — 52, № 4. — C.447–462.
Basarab–Horwath P., Lahno V., Zhdanov R. The structure of Lie algebras and the classification problem for partial differential equations // Acta Appl. Math. — 2001. — Vol. 69, № 1. — P. 43–94.
Zhdanov R.Z., Lahno V.I. Symmetry and exact solutions of the Maxwell and SU(2) Yang–Mills equations// Modern Nonlinear Optics. Second Edition, Advances in Chemical Physics, Volume119/ Edited by Myron W. Evans. Series Editors I. Prigogine and Stuart A. Rice. — New York: John Wiley & Sons. Inc., 2001. — P. 269–351.
Лагно В.И., Самойленко А.М. Групповая классификация нелинейных эволюционных уравнений. I. Инвариантность относительно полупростых групп локальных преобразований // Дифференц. уравнения. — 2002. — 38, №3. — C.365–372.
Абраменко А.А., Лагно В.И., Самойленко А.М. Групповая классификация нелинейных эволюционных уравнений. II. Инвариантность относительно разрешимых групп локальных преобразований// Дифференц. уравнения. — 2002. — 38, №4. — C.482–489.
Лагно В.І. Конформно-інваріантний розв'язок рівнянь Максвелла // Праці Інституту математики НАН України. — 1998. —19. — С.123–129.
Lahno V., Onyshchenko A. The Ovsjannikov's theorem on group classification of a linear hyperbolic type partial differential equation revisited // Proceedings of the Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. — 2000. — 30, Part 1. — P.141–145.
Лагно В.І. Про конформно–інваріантні анзаци для довільного векторного поля // Праці Інститутy математики НАН України. — 2001. — 36. — С.126–135.
Жданов Р.З., Лагно В.І. Групова класифікація рівнянь теплопровідності з нелінійним джерелом // Доп. НАН України. — 2000. — № 3. — C.12–16.
Жданов Р.З., Лaгно В.І. Про нові зображення алгебр Лі групи Пуанкаре P(1,2)// Вісн. ДУ “Львівська політехніка”: Прикл. матем.— 1998. — № 333. — С.26–29.
Lahno V. Symmetry reduction and exact solutions of the SU(2) Yang–Mills equations// Proceedings of the Second International Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Kyiv, 7–13 July 1997). — Kyiv: Institute of Mathematics. — 1997. — 2. — P.313–320.
Lagno V.I. Group analysis of some class of nonlinear evolution equations // Proceedings of the International Conference “Mogran 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium” ( Ufa: Russia, 27 September–03 October, 2000). — Ufa: USATU Publishers. — 2001. — P.105–110.
