Анотація до роботи:

Гарт Е. Л. Проекційно-ітераційні методи та їх застосування до розв’язування крайових задач теорії пружності. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. –Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2007.

Дисертація присвячена розробці і теоретичному обґрунтуванню проекційно-ітераційних методів розв’язування операторних рівнянь з необмеженими операторами і задач умовної мінімізації функціоналів у гільбертових просторах та застосуванню цих методів до розв’язування крайових задач теорії пружності. Запропоновано проекційно-ітераційну модифікацію узагальненого методу моментів, що основана на методі мінімальних похибок. Доведено теореми про збіжність, отримано оцінки похибок наближених розв’язків. Побудовано загальну схему проекційно-ітераційних методів розв’язування задач умовної мінімізації функціоналів, і в її межах обґрунтовано проекційно-ітераційні варіанти методів релаксації, проекції градієнта, умовного градієнта і спряжених градієнтів.

Показано високу обчислювальну ефективність запропонованих модифікацій проекційно-ітераційних методів при розв’язуванні плоских, просторових і некласичних контактних задач теорії пружності з ідеальними односторонніми в’язями. Проведено комп’ютерне (проекційно-ітераційним варіантом методу скінченних елементів) і експериментальне (методом фотопружності) дослідження для визначення напружень у стиснутій ізотропній пластинці з прямокутним отвором, які свідчать про достовірність отриманих результатів. Розроблено алгоритми і комплекси програм для ЕОМ, дано рекомендації щодо застосування проекційно-ітераційних методів для розв’язування задач механіки деформівного твердого тіла.

Основні наукові і практичні результати, отримані автором в дисертаційній роботі:

- запропоновано нову проекційно-ітераційну модифікацію узагальненого методу моментів для операторних рівнянь з необмеженими операторами, діючими у гільбертових просторах. Встановлено належність узагальненого методу моментів до загальної схеми методів проекційного типу та обґрунтовано збіжність його проекційно-ітераційної модифікації, основаної на методі мінімальних похибок; отримано оцінки похибки наближеного розв’язку. Показано, що проекційно-ітераційний варіант методу скінченних елементів є окремим випадком проекційно-ітераційної модифікації узагальненого методу моментів при спеціальному виборі координатних функцій;

- розв’язано задачу про згин пружної ізотропної прямокутної пластинки з жорстко затиснутими краями за допомогою розробленої проекційно-ітераційної модифікації методу Бубнова-Гальоркіна (при цьому розглянуті різні способи побудови апроксимуючих просторів і вибору кількості ітерацій). Результати проведених обчислювальних експериментів свідчать про ефективність проекційно-ітераційного методу у порівнянні із звичайним методом Бубнова-Гальоркіна з точки зору зменшення витрат машинного часу майже у 3 рази;

- для загального випадку задач умовної мінімізації в гільбертових просторах побудовані проекційно-ітераційні схеми методів релаксації, умовного градієнту, проекції градієнту і спряжених градієнтів. Доведена їх збіжність, отримано оцінки похибки наближених розв’язків. Обґрунтовано проекційно-ітераційний варіант методу скінченних елементів для задачі мінімізації квадратичних функціоналів;

- проекційно-ітераційний підхід застосовано до розв’язування плоскої задачі теорії пружності про напружено-деформований стан прямокутної ізотропної пластинки, послабленої центральним прямокутним отвором, що знаходиться під дією зовнішнього навантаження в її площині. Проведено порівняльний аналіз обчислювальної ефективності проекційно-ітераційних варіантів методу скінченних елементів і методу скінченних різниць, основаних на процесі верхньої релаксації, із традиційними методами скінченних елементів і скінченних різниць. Результати розрахунків підтвердили економічність проекційно-ітераційних варіантів методів скінченних елементів (майже в 5 разів) і скінченних різниць (майже в 4 рази) у порівнянні з традиційними методами, а також виявили переваги проекційно-ітераційного варіанту методу скінченних елементів у порівнянні з проекційно-ітераційним варіантом методу скінченних різниць (приблизно в 2,4 рази) з точки зору зменшення обчислювальних витрат на побудову наближеного розв’язку;

- розв’язано мішану просторову задачу теорії пружності про напружено-деформований стан пружного багатошарового тіла у формі прямокутного паралелепіпеда, що знаходиться під дією розподіленого по верхній грані нормального навантаження. Проведено дослідження розподілу полів переміщень і напружень в багатошаровому тілі для різної кількості шарів, механічних і геометричних характеристик та розміру зони зовнішнього навантаження, а також проаналізовано обчислювальну ефективність проекційно-ітераційного алгоритму. Результати обчислювальних експериментів свідчать про ефективність проекційно-ітераційного підходу у порівнянні із традиційним методом скінченних елементів більше, ніж в 4 рази за витратами машинного часу;

- проведені експериментальні дослідження стиснутої пружної прямокутної пластинки з прямокутним отвором поляризаційно-оптичним методом та здійснено співставлення отриманих даних з результатами комп’ютерного моделювання із застосуванням розроблених проекційно-ітераційних і традиційних проекційних методів. Якісний і кількісний порівняльний аналіз дозволяє зробити висновок про достатньо високу для практичного застосування ступінь достовірності чисельних розв’язків запропонованого проекційно-ітераційного алгоритму;

- розв’язані контактні задачі теорії пружності з ідеальними односторонніми в’язями: задача про односторонню контакту взаємодію двох однорідних ізотропних пружних прямокутних тіл і задача про контактну взаємодію однорідного ізотропного пружного тіла з опуклим жорстким штампом;

- досліджено обчислювальну ефективність проекційно-ітераційних варіантів методу скінченних елементів розв’язування контактних задач з ідеальними односторонніми в’язями, основаних на методі спряжених градієнтів і методі верхньої релаксації, та проведено порівняльний аналіз отриманих результатів з результатами розрахунків багатосітковим методом скінченних елементів. В ході обчислювального експерименту апробовані різні стратегії вибору кількості ітерацій і порядку вкладеності сіток; встановлено, що за витратами машинного часу проекційно-ітераційний підхід, оснований на методі спряжених градієнтів і методі верхньої релаксації, є відповідно ефективнішим більше, ніж в 70 і 2000 разів у порівнянні з традиційним методом скінченних елементів при розв’язуванні системи із 26410³ невідомими;

- розроблені алгоритми і комплекси програм розв’язування задач вказаних класів на ЕОМ. На основі отриманих теоретичних і практичних результатів обґрунтовано ефективність запропонованих методів і надані рекомендації щодо їх застосування.

Таким чином, у дисертаційній роботі запропоновані нові проекційно-ітераційні модифікації узагальненого методу моментів і методу скінченних елементів, які застосовані до розв’язування крайових задач теорії пружності і виявились більш ефективними з точки зору зменшення обчислювальних витрат у порівнянні з традиційними проекційними та багатосітковими методами. Проекційно-ітераційні методи отримали в дисертації свій подальший розвиток та розширення сфери застосування до розв’язування задач механіки деформівного твердого тіла.

Основні результати дисертації опубліковано у роботах:

1. Гарт Э. Л., Гарт Л. Л. Применение проекционно-итерационного метода к исследованию напряженно-деформированного состояния пластины с отверстием // Вісник Донецького ун-ту. Природничі науки. – Донецьк, 2002. – Вип. 2. – С. 54–58.

2. Бобылёв А. А., Гарт Э. Л. Исследование вычислительной эффективности проекционно-итерационного алгоритма решения контактных задач с идеальными односторонними связями // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Механіка. – Д., 2000. – Вип. 3. – Т. 2. – С. 3–11.

3. Гарт Э. Л., Борисовская И. В. Исследование вычислительной эффективности проекционно-итерационных вариантов методов конечных элементов и конечных разностей // Вісник Дніпропетровського ун-ту. Механіка. – Д., 2004. – Вип. 8. – Т. 2. – С. 44–51.

4. Бобылёв А. А., Гарт Э. Л. Применение многосеточного метода конечных элементов к решению контактных задач с идеальными односторонними связями // Техническая механика. – 2003. – № 1. – С. 126–134.

5. Гарт Э. Л., Лисицына Е. А. Численные и экспериментальные исследования напряженно-деформированного состояния пластины с прямоугольным отверстием при сжатии // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – Д.: Наука і освіта, 2006. – Т. 10. С. 1119.

6. Гарт Э. Л. Проекционно-итерационный вариант метода сопряженных градиентов // Питання прикладної математики і математичного моделювання. –Д., 2003. – С. 38–48.

7. Балашова С. Д., Тавадзе (Гарт) Э. Л. О сходимости проекционно-итерационного метода решения экстремальной задачи с ограничениями // Вопросы прикладной математики и математического моделирования. – Д., 1996. – С. 128–134.

8. Тавадзе (Гарт) Э. Л., Тавадзе Л. Л. Проекционно-итерационный метод решения задачи минимизации с ограничениями, основанный на методе условного градиента // Математичне моделювання. – Дніпродзержинськ, 1998. – № 3. – С. 18–21.

9. Тавадзе (Гарт) Э. Л., Тавадзе Л. Л. К вопросу о сходимости одного проекционно-итерационного метода решения задачи условной минимизации в банаховом пространстве // Питання прикладної математики та математичного моделювання. – Д., 1999. – С. 135–138.

10. Балашова С. Д., Тавадзе Л. Л., Тавадзе (Гарт) Э. Л. Применение проекционно-итерационных методов к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона / Д., 1991. – 28 с. – Рус. – Деп. в ВИНИТИ 13.06.91, № 2486–В91.

11. Балашова С. Д., Тавадзе (Гарт) Э. Л. Проекционно-итерационная модификация обобщенного метода моментов и её применение к решению одной задачи линейной механики деформируемого твёрдого тела / Д., 1993. – 18 с. – Рус. – Деп. в Укр. ИНТЭИ 31.03.93, № 733–Ук93.

12. Балашова С. Д., Тавадзе (Гарт) Э. Л. Применение проекционно-итерационных методов к решению уравнений с К-положительно определенными операторами / Д., 1994. – 21 с. – Рус. – Деп. в ГНТБ Украины 20.07.94, № 1317–Ук94.

13. Tavadze (Гарт) E, Balashova S., Chernetsky S. The Application of Projection-Іterative Methods for the Solution of Elastic Contact Problems. – ICIAM’95; Book of Abstracts. Hamburg, 1995. – Р. 458.

14. Hart E. Numerische Aspekte fr das Projektions-Itertionsverfahren. – GAMM’2006: Book of Abstracts. – Berlin, 2006. – Р. 487.

15. Бобылёв А., Гарт Э. Применение многосеточного метода конечных элементов к решению контактных задач с односторонними связями // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: в 2-х т. – Львів, 2006. – Т. 2.– С.1416.