Анотація до роботи:

Ніщенко І.І. Перехідні явища в теорії багатовимірного відновлення та їх застосування в дослідженні асимптотичних властивостей випадкових еволюцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. – Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

У дисертаційній роботі основні результати класичної теорії відновлення поширено на клас рівнянь багатовимірного відновлення, побудованих за сім’єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір. У ній досліджено перехідні явища, які виникають в асимптотиці матричнозначних функції відновлення та розв’язку вказаного типу рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля.

Досліджено асимптотичні властивості перехідних ймовірностей розкладного напівмарковського процесу у схемі серій, а також доведено теореми усереднення в схемі асимптотичноо фазового укрупнення для напівмарковської випадкової еволюції та теорему усереднення для випадкової еволюції, заданої рівнянням переносу на регенеруючому процесі.

У дисертаційній роботі основні результати класичної теорії відновлення поширено на клас рівнянь багатовимірного відновлення, побудованих за сім’єю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір. В ній досліджено перехідні явища, які виникають в асимптотиці матричнозначних функції відновлення та розв’язку вказаного типу рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля. Досліджено також граничну поведінку деяких випадкових процесів, що допускають асимптотичне фазове укрупнення.

Основними результатами є такі:

1. доведено існування масштабу часу, в якому асимптотика функції відновлення та розв’язку рівняння багатовимірного відновлення є нетривіальними;

2. доведено нові теореми типу теореми Блекуела, елементарної та вузлової теорем відновлення про асимптотику приросту функції відновлення на інтервалі скінченної довжини, її поведінку на нескінченності та граничну поведінку розв’язку такого рівняння;

3. встановлено асимптотику нормуючого множника, що визначає вище згаданий масштаб часу, у припущенні, що для дограничної матриці повних мас мір має місце асимптотичний розклад за деякою шкалою нескінченно малих величин;

4. для напівмарковського процесу, що допускає асимптотичне укрупнення множини станів, доведено існування масштабу часу, в якому існують нетривіальні границі перехідних ймовірностей, без припущення, що залежність вкладеного в напівмарковський процес ланцюга Маркова від параметра серії задано аналітично;

5. методом безпосереднього аналітичного аналізу рівняння багатовимірного відновлення доведено теорему усереднення в схемі асимптотичного фазового укрупнення для напівмарковської еволюції та теорему усереднення для випадкової еволюції, заданої рівнянням переносу на регенеруючому процесі.

Публікації автора:

1. Єлейко Я.І., Ніщенко І.І. Гранична теорема для матричнозначної випадкової еволюції // Вісник Львів. ун-ту. – 1999. – Вип. 53. – С. 102 – 107.

2. Єлейко Я.І., Ніщенко І.І. Про існування малого параметра для напівмарківського процесу // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1998. – 41, № 4. – С. 95 – 98.

3. Ніщенко І.І. Про існування малого параметра для сім’ї напівмарківських випадкових еволюцій // Вісник Львів. ун-ту. – 2000. – Вип. 56. – С. 129 – 134.

4. Nishchenko I.I. Transition phenomena for many-dimensional renewal equation of special kind // Theory of Stochastic Processes. – 2000. – 6(22), № 1–2. – P 107 – 115.

5. Ніщенко І.І. Про асимптотичне зображення нормуючого множника для випадкової матричнозначної еволюції // Теорія ймов. та мат. стат. – 2001. – Вип. 64. – С. 129 – 135.

6. Yelejko Ya.I., Nishchenko I.I. Asyptotic behaviour of the mean value of random matrix-valued evoution // Тези міжнародної конференції “The Third Ukrainian – Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics”. – Київ: Інститут математики НАН України. – 1999. – С. 162.

7. Yelejko Ya.I., Nishchenko I.I. The asymptotic properties and transition phenomena of random matrix-valued evolutions // Тези міжнародної конференції “Stochastic Analysis and its Appications”. – Львів. – 2001. – С. 86.