Анотація до роботи:

Плахотник М.В. Невід'ємні матриці в теорії кілець та теорії динамічних систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

Описано невід'ємні матриці, перший рядок яких нульовий і для яких виконуються рівності з означення горенштейнової матриці. Для таких матриці пораховано кількість незалежних параметрів, через які виражаються всі елементи матриці.

Розв'язано задачу про опис всіх перестановок, для яких з невід'ємності елементів матриці з нульовим першим рядком, для якої виконуються рівності з означення горенштейнової матриці, достатньо для виконання кільцевих нерівностей.

Для всіх матриць розмірності 8 за вийнятком циклічної виписано кільцеві нерівності, які не є наслідками невід'ємності елементів матриці.

Побудовано конструкцію квазікронекерівського добутку матриць, яка за двома горенштейновими матрицями дозволяє будувати горенштейнову матрицю розміру, що є добутком розмірів вихідних матриць. Доведено, що ця конструкція задає напівгрупову дію на множині класів еквівалентності горенштейнових матриць.

Введено до розгляду множини, на яких задано лінійний порядок та деякий інший порядок. Ці множини названо двічі впорядкованими. Для такої множини побудовано матрицю показників, яка однозначно визначає цю множину. Описано класи спряженості відображень інтервалу в себе, ітерації якого утворюють скінченну групу. Для цього використано матриці показників двічі впорядкованої множини екстремумів відображення інтервалу.

Розв'язано задачу про можливість матриці показників, побудованої за двічі впорядкованою множиною бути горенштейновою матрицею.

Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Результати дисертації частково використані при виконанні завдань підрозділу ``Геометричні структури та їх застосування'' держбюджетної теми 01БФ038-03 (номер державної реєстрації 0101U002479).

В дисертації запропоновано новий спосіб дослідження Горенштейнових матриць, який полягає в тому, щоб в їх означення починати не з нерівностей, що фігурують в означенні матриць показників, а з рівностей. Це природно тому, що розгляд рівностей майже завжди простіший за розгляд нерівностей. Введено до розгляду матриці Кириченка –– матриці з цілими невід'ємними коефіцієнтами та нульовим першим рядком, для яких виконуються рівності з означення Горенштейнових матриць.

Для матриць Кириченка підраховано кількість параметрів, через які виражаються всі елементи матриці та формули, які виражають кожен елемент матриці через інші її елементи, розглянуті як параметри. Останні отримані формули вдалося використати для дослідження і успішного розв'язання задачі про знаходження всіх перестановок, для яких невід'ємності елементів матриці Кириченка достатньо для виконання кільцевих нерівностей.

Незважаючи на те, що матриці показників виникли в задачі теорії порядків, в дисертаційній роботі показано, що ці матриці можна розглядати як незалежний алгебраїчний об'єкт, відмежувавшись від історії їх виникнення.

Так, запропоновано конструкцію квазікронекерівського добутку горенштейнових матриць та показано, що вона не виводить за межі горенштейнових матриць. Втім, вказана конструкція не може бути використана для опису всіх горенштейнових матриць, оскільки твердження, що кожна горенштейнова матриця, якій відповідає звідна перестановка в сенсі кронекерівського добутку може бути подана як квазікронекерівський добуток деяких горенштейнових матриць менших розмірностей хибна.

Крім того, матриці показників природно виникли в теорії динамічних систем, зокрема в задачі опису класів топологічно еквівалентних неперервних відображень інтервалу в себе, напівгрупа ітерацій яких є скінченною групою. Протягом розв'язання цієї дачі було запропоновано конструкцію двічі впорядкованої множини, яка має самостійну цінність.

За кожною двічі впорядкованою множиною можна ін'єктивно побудувати -матрицю показників. При цьому описано всі матриці показників, які можуть бути побудовані за двічі впорядкованою множиною. Описано сагайдаки таких матриць та повністю досліджено випадок про те, коли матриця показників двічі впорядкованої множини може бути горенштейновою.

Публікації автора:

1. M. Plakhotnyk, On the dimension of Kirichenko space, // Algebra and Discrete mathematics – 2006. – №2,– P. 87-126;

2. М. Плахотник, Кільцеві нерівності для матриць Кириченка, цикловий тип яких складається з двох чисел // Вісник Київського Університету; серія Фізико-математичні науки – 2007.– №1, – С. 25-29;

3. М. В. Плахотник, Квазікронекерові добутки горенштейнових матриць, // Математичні студії – 2007. – Т. 28,– № 1, С. 3-10.

4. М. Плахотник, Кільцеві нерівності для матриць Кириченка, // Вісник Київського Університету. Математика. Механіка. – 2007. – Вип. 17-18, – С. 37-41;

5. V. Fedorenko, V. Kyrychenko, M. Plakhotnyk, Exponent Matrices and Topological Equivalence of Maps, // Algebra and Discrete mathematics –2007. – № 4, – P. 45-58;

6. M. Plakhotnyk, On the dimension of the space of Gorenstein matrices for some types of correspond permutations: матеріали всеукр. математ. конф. [“5th International Algebraic Conference in Ukraine”] / Одеський національний університет ім. Мечникова, С. 157;

7. M. Plakhotnyk, Kronecker product of permutations and Gorenstein matrices: матеріали міжнар. математ. конф. [“International Conference on Radicals ICOR-2006”] / Київський національний ніверситет ім. Тараса Шевченка, С. 53-54;

8. M. Plakhotnyk, Kirichenko Matrices as a Tool of Describing Gorenstein Tiled Orders: матеріали всеукр. математ. конф. [“6th International Algebraic Conference in Ukraine”] / Кам’янець-подільський Державний Університет, С. 53-54;