Анотація до роботи:

Кривоблоцька Л.М.

Нелінійний згин пластини з отвором. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ 2005 р.

Дисертація присвячена розв’язуванню задач із нелінійної механіки пластин і оболонок – про напружено-деформований стан гнучких пластин з отвором під дією моментного навантаження на “нескінченності”. Розв’зок задач запропоновано знаходити методом розкладу по параметру зовнішнього навантаження. При розв’язуванні встановлено, що значення прогинів і силових характеристик необмежено зростають при відході від краю отвору. Для розробки методів регуляризації проведено огляд і аналіз задач із різних областей механіки. Сформульовано на основі вказаного огляду новий підхід до розв’язання проблеми регуляризації: запропоновано змінити усталене уявлення про частинні суми рядів і методи їх підсумовування. Створено такі методи лінійного і нелінійного підсумовування, коли в підсумовуючі функції входять довільні параметри і функції. На основі запропонованого метода розв’язані нові геометрично–нелінійні задачі механіки пластин и оболонок в неосесиметричній та осесиметричній постановках про згин на “нескінченності” моментними навантаженнями пластини з отвором. Встановлено, що одержані конкретні числові дані, графіки не суперечать усталеним уявленням про напружено – деформований стан пластин з отвором; одержано певні механічні ефекти. Методи регуляризації апробовані на тестових задачах.

Математично обгрунтовано, що одержані розв’язки задовольняють рівнянням рівноваги з деякою асимптотичною точністю і точно лінійним граничним умовам, якщо оператори вихідної задачі полілінійні.

На основі проведених в дисертаційній роботі досліджень можна сформулювати такі узагальнюючі наукові результати:

1. Дана постановка задач про напружено-деформований стан пластин з отвором під дією згинаючих моментів.

2. Представлено в загальному виді аналітичний метод розв’язку відповідних нелінійних рівнянь типу Кармана – метод розкладу шуканих функцій по безрозмірному параметру моментного навантаження. В результаті в криволінійній ортогональній системі координат отримана послідовність лінійних граничних задач для визначення шуканих функцій – прогину та функції напружень – для випадку довільної форми отвору.

3. Отримано на основі запропонованого методу загальний розв’язок двовимірної нелінійної задачі про згин на “нескінченності” гнучкої пластинки з центральним симетричним отвором; розв’язок представлено в аналітичному виді в трьох наближеннях. Встановлено, що ітерації містять сингулярні на “нескінченності” доданки, порядок їх зростає зі збільшенням номера наближення.

4. Встановлено на основі аналізу нелінійних проблем з ряду областей механіки, що існують різні типи сингулярностей в ітераціях. Для їх регуляризації розроблені спеціальні, в деяких випадках оригінальні методи. Але ці методи в цілому не можна застосовувати для регуляризації сингулярностей в ітераційних процесах, які використовуються в дисертаційній роботі; тому виникла потреба пошуку нових ідейних начал, методів.

5. Запропоновано новий підхід до регуляризації одержуваних в дисертаційній роботі сингулярних ітерацій. Підхід використовує нові уявлення про суми, підсумовування рядів, послідовностей і погляд на розв’язок, як на певну апроксимацію по параметру. В результаті розроблено два типи нелінійних методів підсумовування та лінійний метод. Характерною особливістю цих методів є те, що в схему реалізації їх введено довільні функції і параметри, певним вибором яких можна впливати на сингулярності в ітераціях.

6. Обгрунтовано математично лінійний метод підсумовування – доведена теорема “перманентності”, викладено схему побудови підсумовуючих функцій. Сформульовано алгоритм застосування запропонованого метода підсумовування; метод застосовано до задач, що розглянуті в дисертаційній роботі. Одночасно встановлено і обгрунтовано такі важливі результати:

розв’язки поставлених задач у вигляді певних апроксимацій, які будуються на основі метода підсумовування, точно задовольняють граничним умовам, наближено (з асимптотичною точністю) самим рівнянням рівноваги;

в указаних апроксимаціях вже відсутні сингулярні складові. Наведене вище буде мати місце, коли вихідні оператори граничної задачі полілінійні, а граничних умов – лінійні.

1. Розв’язана аналітично у порівняно високих наближеннях нелінійна осесиметрична задача про згин круглої пластинки з центральним отвором; тут також виявлено феномен сингулярностей і значний ріст їх порядків зі збільшенням номера наближення. Застосовано метод лінійного підсумовування, одержано конкретні числові дані, графіки, які не суперечать усталеним уявленням про напружено-деформований стан біля отворів пластин при їх згині на “нескінченності”.

2. Одержано в явному вигляді формули для обчислення коефіцієнта концентрації кільцевих моментів і величини кільцевих зусиль на краю отвору. Встановлено, що зазначені характеристики при урахуванні геометричної нелінійності залежать не лише від механічних характеристик пластинки, а і від її геометричних розмірів. Врахування геометричної нелінійності приводить до зменшення коефіцієнта концентрації кільцевих моментів. З ростом зовнішнього навантаження значення кільцевих зусиль в околі отвору також зменшується.

3. Підтверджена при розв’язанні тестових нелінійних задач ефективність і достовірність запропонованих в дисертаційній роботі методів. Паралельно вдалося сформулювати нову схему метода розв’язування задач математичної фізики.

Публікації автора:

За результатами дисертації опубліковано 8 наукових праць, у тому числі 4 статті у фахових журналах, що входять до переліку ВАКу, а також 4 роботи у збірниках матеріалів і праць конференцій:

1. Каюк Я.Ф., Кривоблоцкая Л.Н. Метод регуляризации сингулярных итераций в нелинейных задачах изгиба пластин с отверстием // Вісник Донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 1, с. 83-90.

2. Каюк Я.Ф., Кривоблоцкая Л.Н. Концентрация моментов в окрестности круглого отверстия пластины при больших изгибах // Вісник Донецького університету, Сер. А: Природничі науки, 2002, вип. 2, с. 187-191.

3. Каюк Я.Ф., Кривоблоцкая Л.Н. Сингулярные итерации в нелинейных задачах концентрации напряжений // Теорет. и прикладная механика. 2002. Вып. 36, с.98-108.

4. Каюк Я.Ф., Кривоблоцька Л.М. Сингулярні ітерації в нелінійних задачах згину пластини з отвором // Вісник Донецького університету, Сер.А. Природничі науки, 2005, вип. 1, с. 94-95.

5. Рибальченко С.В., Кривоблоцька Л.М. Застосування методу підсумовування до розв’язку крайових, початково-крайових лінійних та нелінійних елементарних задач // Пр. ХХХVII наук. конф. студентів та магістрантів.-Кіровоград: КДТУ, 2003.-С.63-66.

6. Кривоблоцька Л.М., Дворніченко А.П. Методи розрахунку конструкцій з круговими отворами в пластинах // Пр. регіон. наук.-практ. конф. “Проблеми розробки, виробництва, експлуатації та ремонту підйомно-транспортних, будівельних та дорожних машин”. – Кіровоград: КІСМ.- 1996. - С. 32.

7. Кривоблоцька Л.М. Про вплив кругового отвору на розподіл напружень в пластині // Наукові записки – Вип. 1. – Кіровоград: КДТУ, 1999. – С.129-131.

8 Кривоблоцкая Л.Н. Проблемы сингулярных итераций в нелинейных задачах

концентрации напряжений // Наукові записки – Вип. 2. – Кіровоград: КДТУ,

2001. – С.205-207.