Анотація до роботи:

Слободян М.В. Наближення розподілу числа хибних розв’язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі розподілом Пуассона. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 теорія ймовірностей і математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

У дисертації досліджується розподіл числа хибних розв’язків (тобто розв’язків, що відрізняються від деякого фіксованого розв’язку) наперед сумісної системи нелінійних випадкових рівнянь у двоелементному полі за умови, що різниця між кількістю невідомих та кількістю рівнянь цієї системи є фіксованим числом довільного знаку, при .

Отримано оцінки швидкості та порядку швидкості наближення розподілу випадкової величини розподілом Пуассона за умови, що число ненульових компонент фіксованого розв’язку системи зростає із зростанням та при деяких обмеженнях на розподіл коефіцієнтів даної системи.

Знайдено явні оцінки швидкості збіжності розподілу випадкової величини до розподілу Пуассона, коли в системі існує з додатною ймовірністю лінійна частина. Доведена теорема про оцінку порядку швидкості збіжності розподілу випадкової величини до пуассонівського розподілу за умови росту розмірів даної системи та при додаткових обмеженнях на порядок нелінійності її доданків.

Отримано оцінки швидкості та порядку швидкості зближення розподілу випадкової величини з розподілом Пуассона за умови, що при та умови на число ненульових компонент кожного з хибних розв’язків даної системи.

Наведено приклади, в яких показано нетривіальність знайдених оцінок.

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії систем нелінійних випадкових рівнянь над скінченними алгебраїчними структурами.

В дисертаційній роботі отримані явні оцінки швидкості збіжності розподілу числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі до граничного пуассонівського розподілу, якщо число ненульових компонент правдивого розв'язку цієї системи зростає із ростом її розмірів (розділ 2). Доведена теорема про оцінку порядку швидкості збіжності розподілу випадкової величини до розподілу Пуассона, коли система має доданки з порядком нелінійності, що зростає при і є . У прикладах відображена залежність оцінки швидкості зближення розподілу випадкової величини та пуассонівського розподілу від кількості невідомих системи та сталої різниці між кількістю невідомих та числом рівнянь системи .

Отримано оцінки швидкості та порядку швидкості збіжності розподілу числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі до розподілу Пуассона, коли у вихідній системі з додатною ймовірністю існує лінійна частина, а може не залежати від (розділ 3). Оцінки порядку швидкості зближення знайдені за умови, що система має доданки з порядком нелінійності, що зростає при і є . За допомогою прикладів проілюстровано нетривіальність отриманих в розділі 3 результатів.

Знайдено дві явні оцінки швидкості зближення розподілу числа хибних розв'язків системи нелінійних випадкових рівнянь у полі з розподілом Пуассона, при додатковій умові на число ненульових компонент кожного з хибних розв'язків системи , а саме (розділ 4). Один з даних результатів отримано за умови, що розподіл коефіцієнтів системи змінюється в деякому околі точки , а інший коли , . За деяких умов на розподіли коефіцієнтів доведено дві теореми про оцінку порядку швидкості збіжності розподілу випадкової величини до граничного пуассонівського розподілу, коли система має доданки з порядком нелінійності, що зростає при і є .

Усі отримані результати є новими і становлять внесок в розвиток теорії систем нелінійних випадкових рівнянь над скінченними алгебраїчними структурами. Вони можуть знайти практичне застосування в теорії кодування та захисту інформації від несанкціонованого доступу, теорії розпізнавання та ін.