Анотація до роботи:

Ляшенко Б.М. Моделі і чисельні методи дослідження багатопараметричних сингулярних спектральних задач. – Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2003.

Сформульовані узагальнені математичні моделі прикладних задач, пов’язаних із сингулярними багатопараметричними задачами про власні значення.

Розроблено і теоретично обґрунтовано метод розв’язування проблеми власних значень сингулярних спектральних задач, що ґрунтується на двосторонній апроксимації власних значень сингулярної задачі на урізаній області визначення диференціального оператора із виключеними особливостями та крайовими умовами Діріхле і Неймана на межі області урізання.

Сформульована та досліджена модель поверхні області нестійкості плазми із врахування і неврахуванням тиску плазми; розроблено методику побудови поверхні рівня власних значень, на основі якої проведено дослідження стійкості струмової конфігурації плазми змінного профілю щільності.

Розроблено методику дослідження власних значень спрощеного рівняння магнітодинамічної балонної нестійкості плазми як функції керуючих параметрів у коефіцієнтах моделюючої сингулярної задачі.

Дисертаційна робота є новим комплексним дослідженням, що розв’язує важливу наукову проблему побудови та аналізу математичних моделей багатопараметричних сингулярних спектральних задач, які описують динаміку складних фізичних процесів.

В роботі отримано такі основні результати:

1. Розроблено новий метод розв’язання проблеми власних значень сингулярних спектральних задач, що ґрунтується на двосторонній апроксимації власних значень сингулярної задачі відповідними власними значеннями несингулярних спектральних задач на урізаній області визначення диференціальної задачі з виключеними особливостями та крайовими умовами Діріхле і Неймана на межі області урізання. Метод теоретично обґрунтований для:

– задачі Штурма-Ліувілля із виродженням диференціального оператора на межі області визначення;

– сингулярної задачі Штурма-Ліувілля із необмеженою областю визначення та з необмеженим зростанням потенціальної функції;

– нелінійних за шуканим параметром сингулярних спектральних задач;

– систем сингулярних задач Штурма-Ліувілля зі зв’язаними власними значеннями та спільними керуючими параметрами;

– двовимірного сингулярного оператора Шредінгера з областю урізання у вигляді прямокутника та кільця.

2. Одержано нові оцінки похибок власних значень, що виникають внаслідок запропонованої двосторонньої апроксимації. Доведена монотонна збіжність власних значень апроксимуючих несингулярних задач до відповідних власних значень сингулярної задачі при прямуванні урізаної області до області визначення сингулярної задачі.

3. Вперше сформульовано і досліджено математичні моделі поверхні області нестійкості плазми із врахуванням і неврахуванням тиску плазми; розроблено методику побудови поверхні рівня власних значень, на основі якої проведено дослідження стійкості струмової конфігурації плазми змінного профілю щільності.

4. Розроблено нову методику дослідження власних значень спрощеного рівняння магнітодинамічної балонної нестійкості плазми як функції керуючих параметрів у коефіцієнтах моделюючої сингулярної задачі. Встановлено, що шукані власні значення, за винятком визначеної області, знаходяться в одній площині тривимірного простору, утвореного керуючими параметрами.

5. Вперше сформульована і досліджена задача мінімізації функціоналів на власних значеннях багатопараметричної системи сингулярних спектральних задач.

6. Обґрунтовано нову методику дослідження: задачі про відшукання лінії рівня дискретного спектра параметричного обертового гармонічного осцилятора; математичної моделі задачі двох центрів квантової механіки, як в шредінгерівській, так і в штурмівській постановці, встановлено єдиний підхід до розв’язання цієї проблеми; математичної моделі катастрофи зборки в квантовій механіці; моделі власних коливань рідини у вузьких ємностях.

7. Розроблено нове спеціалізоване математичне і програмне забезпечення для дослідження багатопараметричних сингулярних задач про власні значення.

Список опублікованих праць автора за темою дисертаційної роботи:

1. Ляшенко Б.Н. Методы решения сингулярных задач Штурма-Лиувилля. – К.: Лыбидь, 1991. – 126 с.

2. Ляшенко И.Н., Ляшенко Б.Н. Итерационный метод решения сингулярных спектральных задач для дифференциальных уравнений второго порядка // Вычислительная и прикладная математика, 1988. – Вып. 66. – С. 3-9.

3. Бублик Б.Н., Ляшенко И.Н., Ляшенко Б.Н. Двусторонняя аппроксимация решения задачи двух центров квантовой механики // Доклады АН УССР. – Сер. А. – 1988. – № 10. – С. 3-6.

4. Ляшенко Б.Н. О минимизации функционалов на собственных значениях многопараметрической системы сингулярных спектральных задач // Доклады АН УССР. – Сер. А. –1990. – № 9. – С. 14-17.

5. Ляшенко Б.Н. Аппроксимация собственных значений нелинейной по параметру сингулярной задачи Штурма-Лиувилля // Вычислительная и прикладная математика, 1990. – Вып. 72. – С. 11-16.

6. Ляшенко Б.Н. Об одном методе минимизации полной энергии квантово-механических систем // Кибернетика. – 1991. – № 3. – С. 46-52.

7. Ляшенко І.М., Ляшенко Б.М. Двосторонні апостеріорні оцінки власних значень сингулярної задачі Штурма-Ліувілля // Обчислювальна та прикладна математика, 1992. – Вип. 76. – С. 39-49.

8. Бублик Б.Н., Ляшенко Б.Н. Проблема собственных значений в многопараметрических оптимизационных задачах теоретической физики // Кибернетика и системный анализ. – 1995. – № 3. – С. 155-159.

9. Bublik B.N., Lyashenko B.N. Investigation of the eigenvalues problem in multiparametric optimization problems of theoretical physics // Доповіді НАН України. – 1996. – № 3. – C. 35-38.

10. Ляшенко Б.М. Апроксимація власних значень оператора Шредінгера на нескінченному інтервалі з від’ємною потенціальною функцією // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 1999. – № 2. – С. 263-266.

11. Ляшенко Б.М. Дослідження власних значень спрощеного рівняння магнітодинамічної балонної нестійкості плазми методом двосторонньої апроксимації // Журнал обчислювальної та прикладної математики. – 1999. – № 1(84). – С. 74-81.

12. Ляшенко Б.М. Оцінка власних значень оператора Шредінгера на нескінченному інтервалі з невід’ємною монотонно зростаючою потенціальною функцією // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 1999. – № 3. – С. 225-229.

13. Ляшенко Б.Н. Поверхность области устойчивости токовой конфигурации плазмы в магнитном поле // Проблемы управления и информатики. –2000. – № 3. – С. 91-97.

14. Ляшенко Б.М. Рівні частот власних коливань рідини у вузьких ємностях // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2000. – № 1. – С. 107-110.

15. Ляшенко Б.Н. Область неустойчивости токовой плазмы переменного профиля плотности // Проблемы управления и информатики. – 2000. – № 5. – C. 46-51.

16. Ляшенко Б.М. Рівні власних значень обертового гармонічного осцилятора // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2000. – № 2. – С. 282-285.

17. Ляшенко Б.М. Лінія рівня власних значень спрощеного рівняння балонної нестійкості плазми в магнітному полі // Волинський математичний вісник. – 2000. – № 7. – С. 106-110.

18. Ляшенко Б.М. Математичні моделі задачі двох центрів квантової механіки // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2000. – № 3. – С. 263-268.

19. Ляшенко Б.Н., Кривонос А.Н. Двухсторонняя аппроксимация собственных значений двухмерного сингулярного оператора Шредингера // Кибернетика и вычислительная техника, 2000. – Вып. 128. – С. 45-52.

20. Ляшенко Б.М. Катастрофа зборки в квантовій механіці // Вісник Київського університету. Сер.: фізико-математичні науки. – 2000. – № 4. – С. 238-242.

21. Ляшенко Б.М. Собственные значения уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом // Проблемы управления и информатики. – 2001. – № 4. – С. 26-35.

22. Ляшенко Б.М., Кривонос О.М. Власні значення двовимірного сингулярного рівняння Шредінгера // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. – 2001. – № 3. – С. 287-291.

23. Ляшенко Б.М. Двостороння апроксимація власних значень рівняння Шредінгера з параметричним потенціалом, що змінюється від двоямного до одноямного виду // Вісник ЖІТІ. – 1998. – № 7. – С. 314-316.

24. Ляшенко Б.М. Пакет прикладних програм (ППП) для розв’язування сингулярних спектральних задач теоретичної фізики // Вісник ЖІТІ. – 1997. – № 6. – С. 183-189.

25. Ляшенко И.Н., Ляшенко Б.Н., Ембергенов А. Двусторонняя аппроксимация частот собственных колебаний жидкости в цилиндрическом резервуаре // Вестник Каракалпакского филиала АН УзССР. – Нукус. – 1990. – № 2. – С. 7-10.

26. Ляшенко Б.М. Обчислення власних значень рівняння Шредінгера з потенціалом методом двосторонньої апроксимації // Вісник Житомирського педагогічного інституту. – 1998. – № 1. – С. 107-109.

27. Ляшенко Б.М. Квантово-механічна модель взаємодії кількох частинок в електронній оболонці // Вісник ЖІТІ. – 2001. –№ 11. – С. 6-9.

28. Lyashenko B.N. A method for minimizing the total energy of quantum-mechanical systems // Cybernetics. – 1991. – V. 27, no 3. – P. 367-376.

29. Lyashenko I.N., Lyashenko B.N. An iterative method for solving singular spectral problems for second-order differential equations // Journal of Sovet Mathematics. – 1993. –V. 66, no. 4. – P. 2357-2362.

30. Lyashenko B.N. Approximation of the eigenvalues of a singular Sturm-Liouville problem that is nonlinear with respect to the parameter // Journal of Mathematical Sciences. – 1994. – V. 71, no. 4. – P. 2539-2543.

31. Bublik B.N., Lyashenko B.N. The eigenvalue problem in multiparameter optimization problems of theoretical physics // Cybernet. Systems Anal. – 1995. – V. 31, no. 3. – P. 445-449.

32. Lyashenko I.M., Lyashenko B.M. Posterior two-sided estimates for eigenvalues of the singular Sturm-Liouville problem // Journal of Mathematical Scienсes. – 1995. – V. 75, no. 4. – P. 1812-1819.

33. Lyashenko B.N. Surface of Stability Domain of Plasma Current Configuration in Magnetic Field // Journal of automation and information sciences. –2000. – V. 32, no. 9. – P. 67-74.

34. Lyashenko B.N. Instability Region of Current Plasma of Denseness Variable Profile // Journal of automation and information sciences. –2000. – V. 32, no. 12. – P. 37-42.

35. Lyashenko B.N. Eigenvalues of a Shrodinger Equation with a Singular Potential // Journal of automation and information sciences. –2001. – V. 33, no. 8. – P. 27-34.

36. Lyashenko B.M. Study of the eigenvalues of the simplified equation of magnetohydrodynamic balloon plasma instability by the method of two-sided approximation // Journal of Mathematical Scienсes. – 2002. – V. 109, no. 4. – P. 1740-1747.

37. Ляшенко Б.Н. Алгоритм и программа итерационного метода решения сингулярных задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Деп. в УкрНИИНТИ. – № 2764-Ук87 от 29.09.87. – 15 с.

38. Ляшенко Б.Н. Исследование конечноразностного решения сингулярных задач на собственные значения методами статистического анализа // Деп. в УкрНИИНТИ. – № 2932-Ук88 от 23.11.88. – 9 с.

39. Ляшенко Б.Н. Двусторонняя аппроксимация собственных значений двухпараметрической системы сингулярных задач типа Штурма-Лиувилля // Деп. в ГНТБ Украины 15.05.94. – № 974-Ук94. – 14 с.