Анотація до роботи:

Носов К.В. Метод скінченних елементів з вибором координатних функцій при моделюванні фізичних процесів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового степеня кандидата фізико-математичних наук 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2006.

У дисертації досліджуються ітераційні алгоритми побудови скінченноелементного базису при наближеному розв’язанні рівняння Пуассона (задача Діріхле) та бігармонічного рівняння (крайові умови II роду) методом скінченних елементів для полігональних областей з прямими вхідними та вихідними кутами. З використанням нових підходів отримано необхідні умови екстремуму функціоналу енергії відповідних задач. Досліджено властивості ітераційних алгоритмів побудови наближених розв’язок під загальною назвою «фліп-флоп». Отримано апостеріорні оцінки величин, що відбивать зменшення квадрату похибки у енергетичній нормі на кожному кроці ітераційного процесі. Для окремих випадків розбиття прямокутної області отримані деякі апріорні властивості наближених розв’язків, що будуються у відповідності з цими алгоритмами. Проведені числові експерименти на тестових прикладах демонструють високу точність запропонованих алгоритмів.

1. Для розглянутих у роботі задач (задача Діріхле для рівняння Пуассона, бігармонічна задача з крайовими умовами ІІ роду, область в представляється у вигляді об’єднання прямокутників) з використанням нових підходів отримано необхідні умови, яким повинні задовольняти координатні функції та вузлові параметри для забезпечення мінімуму відповідного функціоналу енергії.

2. Доведено теореми існування і єдиності розв’язків симетрично-граничних крайових задач, які виникають при знаходженні чергових наближень координатних функцій згідно методу FF.

3. Запропонований метод зведення симетрично-граничної крайової задачі виду

4. (де — матриці 22, , , ) до двох крайових задач для нормальних систем диференціальних рівнянь.

5. Для методу FF встановлено апостеріорні оцінки величин, які характеризують наближення розв’язку, отриманого на черговому кроці ітерації, до точного розв’язку задачі. Оцінена (знизу) величина

6. де — норма в енергетичному просторі, породженому оператором відповідної задачі, — точний розв’язок задачі, — наближений розв’язок, отриманий на кроці методу FF. Дана оцінка характеризує зменшення похибки при переході від ітерації з номером до наступної ітерації з номером .

7. Для задачі Діріхле (рівняння Пуассона) для двох частинних випадків розбиття прямокутної області встановлено апріорні оцінки, яким дозволяють послідовності вузлових параметров наближених розв’язків, отриманих методом FF.

8. Для розв’язання бігармонічної задачі з крайовими умовами ІІ роду запропонована схема, яка дозволяє зводити систему інтегро-диференціальних рівнянь (на відповідних кроках методів FF) до крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Запропонований підхід є досить загальним і може використовуватися при побудові наближених розв’язків за методом FF для інших типів рівнянь.

Публікації автора:

[1] Литвин О.М., Носов К.В. Деякі оцінки ітераційного процесу в методі оптимальних скінченних елементів // Матеріали Х міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - К.: Задруга, 2004. - С. 436.

[2] Литвин О.М., Носов К.В. Загальний розв’язок симетрично-граничної системи диференціального рівнянь, що виникає в оптимальному методі скінченних елементів // Доповіді НАН України. - 1998. № 10. - С. 25–31.

[3] Литвин О.М., Носов К.В. Застосування оптимального методу скінченних елементів (ОМСЕ) для розв’язання бігармонічного рівняння з крайовими умовами другого роду // Волинский математичний вісник. - 1997. - Вип. 4. - С. 91–94.

[4] Литвин О.М., Носов К.В. Існування та єдиність розв’язків симетрично-граничних задач, що виникають в оптимальному методі скінченних елементів // Комп’ютерна математика. Оптимізація обчислень. Зб. наук. праць. НАН України. Ін-т кібернетики ім. В.М. Глушкова; Редкол.: І.В. Сергієнко (відп. ред.) та ін. - Т. 1. - Київ, 2001. - С. 242-248.

[5] Литвин О.Н., Носов К.В. Некоторые аспекты численой реализации оптимального метода конечных элементов на примере бигармонической задачи с краевыми условияи второго рода // Кибернетика и системный анализ. - 1999. № 1. - С. 178–187.

[6] Литвин О.М., Носов К.В. Про вибір оптимальних базисних функцій в методі скінченних елементів (бігармонійна задача другого роду, прямокутні елементи) // Праці міжнародної конференції «Питання оптимізації обчислень». - Київ: Інститут кібернетики НАН України. - 1997. - С. 160–164.

[7] Литвин О.М., Носов К.В. Чисельна реалізація методу скінченних елементів (прямокутні елементи) для бігармонійного рівняння 2-го роду // Доповіді НАН України. - 1997. № 12. - С. 29–35.

[8] Литвин О.Н., Носов К.В. Чисельная реализация оптимального метода конечных елементов для бигармонической задачи с краевыми условиями второго рода // Соврем. проблемы конц. напр.: Тр. междунар. науч. конф. - Донецк: Донец. гос. ун-т, «Кассиопея», 1998. - С. 151 – 157.