Анотація до роботи:

Дейнека І.В. Математичні моделі та обчислювальні методи аналізу багатокомпонентних псевдопараболічних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена розробці теоретичних засад створення ефективних проблемно-орієнтованих програмно-алгоритмічних засобів чисельного аналізу руху рідини в тріщинувато-порових ґрунтових середовищах, що вміщують тонкі прошарки, які суттєво впливають на розвиток зазначених процесів. Для вирішення цього завдання побудовані нові математичні моделі, як множина початково-крайових задач для псевдопараболічних та еліптико-псевдопараболічних рівнянь з умовами спряження неідеального контакту (з розривними розв’язками). Отримані для них відповідні класичні узагальнені задачі, що визначені на класах розривних функцій. Побудовані обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності для знаходження наближених узагальнених розв’язків. Отримані оцінки похибок наближених узагальнених розв’язків МСЕ та похибок наближених узагальнених розв’язків, одержаних за допомогою різницевих схем Кранка-Ніколсона та розривних функцій МСЕ. Проведені обчислювальні експерименти, результати яких підтверджують ефективність запропонованих алгоритмів.

У роботі отримані такі основні результати.

1. Побудовані математичні моделі неусталених процесів руху рідини у тріщинувато-порових середовищах, що вміщують тонкі прошарки, як нові класи початково-крайових задач з розривними розв’язками для псевдопараболічних та еліптико-псевдопараболічних рівнянь з умовами спряження неідеального контакту.

2. Для отриманих початково-крайових задач з умовами спряження слабкопроникливого, тришарового прошарків, з заданими стрибками розв’язків, з умовами спряження зосередженої теплоємності, з двома прошарками різних властивостей отримані класичні узагальнені задачі, що визначені на відповідні класах розривних функцій. Доведена єдиність узагальнених розв’язків.

3. З використанням класів розривних функцій МСЕ побудовані обчислювальні алгоритми підвищеного порядку точності знаходження наближених узагальнених розв’язків. Доведено їх існування та єдиність. Отримані оцінки похибок наближених узагальнених розв’язків, що за порядками кроків дискретизації не гірші аналогічних, відомих для відповідних задач з гладкими розв’язками.

4. Розроблена методика заміни головної неоднорідної умови спряження природною з малим параметром e > 0.

5. Отримані оцінки похибок збурених розв’язків та наближених збурених розв’язків.

6. Для дискретизації відповідних задач Коші розроблено різницеві схеми Кранка-Ніколсона. Отримані оцінки наближених розв’язків, одержаних з використанням певних підмножин розривних функцій, розривних функцій МСЕ та різницевих схем Кранка-Ніколсона.

7. За допомогою розроблених обчислювальних алгоритмів розв’язані модельні приклади. Отримані результати підтверджують ефективність запропо-нованих обчислювальних схем.