Анотація до роботи:

Максименко-Шейко К.В. Математичне моделювання фізико-механічних полів з гвинтовим типом симетрії методом R-функцій. —Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 — математичне моделювання та обчислювальні методи. — Інститут проблем машинобудування

ім. А.М.Підгорного НАН України, Харків, 2003.

В дисертації вперше метод R-функцій застосовано до математичного моделювання фізико-механічних полів, що мають гвинтовий тип симетрії, в криволінійних неортогональних координатах.

Задача побудови математичних моделей полів, що мають гвинтовий тип симетрії, виникає в різних областях: наприклад, скручені труби є простим і зручним засобом для надання потокові обертального руху; в теплотехніці відомі численні випадки використання змійовиків.

За допомогою теорії R-функцій вперше побудовані нормалізовані рівняння скручених циліндрів та змійовиків некласичного перерізу. В криволінійних неортогональних координатах побудовані основні диференціальні інваріанти, векторні співвідношення для змійовиків та скручених циліндрів.

Показано, що за умови наявності відповідної геометричної та фізичної симетрії розмірність крайових задач може бути знижена. Всі побудовані диференціальні інваріанти та векторні співвідношення можуть бути використані при побудові математичних моделей полів різної фізичної природи. Доведено необхідну умову розв’язання неоднорідної крайової задачі Неймана для рівняння Пуассона для тиску, яке випливає з рівнянь Нав’є-Стокса.

Досліджений вплив кута закрутки та геометричних параметрів змійовика на характер розподілу електричного потенціалу і характер течії нестисливої в’язкої рідини.

В дисертації вперше метод R-функцій застосований в математичному моделюванні фізико-механічних полів, що мають гвинтовий тип симетрії, в криволінійних неортогональних координатах. Показано, що при наявності відповідної геометричної і фізичної симетрії може бути знижена розмірність крайових задач. Всі побудовані диференціальні інваріанти та векторні перетворення можуть бути використані при побудові математичних моделей полів різної фізичної природи.

Основні результати роботи:

за допомогою теорії R-функцій та перетворення координат вперше побудовані нормалізовані рівняння скручених циліндрів та змійовиків некласичного перерізу;

побудовані основні диференціальні інваріанти в криволінійних неортогональних координатах для областей, що мають гвинтовий тип симетрії;

доведено теорему про зведення тривимірної скалярної крайової задачі з гвинтовим типом симетрії в нескінченних скручених циліндрах до двовимірної завдяки переходу в неортогональну криволінійну систему координат;

з застосуванням методу R-функцій та варіаційних методів (Рітца, найменших квадратів) отримано розв’язки крайових задач для областей некласичної форми, притому точно задовольняючи граничним умовам в криволінійних неортогональних координатах;

досліджено вплив кута закрутки на характер розподілу електричного потенціалу і характер течії нестисливої в’язкої рідини. При цьому встановлено, що при зростанні кута закрутки утворюються зони «плато» та великих градієнтів;

для оцінки вірогідності побудови математичних моделей за допомогою апарата тензорного аналізу побудовано основну систему рівнянь руху нестисливої в’язкої рідини в циліндричній системі координат. Результат співпав з наведеними в роботах Лойцянського Л.Г., Ландау Л.Д, Ліфшица Є.М.;

оцінку вірогідності розв’язку поставлених задач проведено за допомогою тестування задач для випадків порівняно з відомими точними розв’язками задачі електростатики для прямокутника та задачі про ламінарну течію в каналах круглого, еліптичного, трикутного та прямокутного перерізів. Максимальна похибка склала 0.6%;

чисельно встановлено, що радіальна компонента вектора швидкості в скручених трубах дорівнює нулю, що співпадає з експериментальними даними та підтверджує правильність побудови математичної моделі.

Опубліковані праці за темою дисертації:

1. Максименко-Шейко К.В. Исследование течения несжимаемой вязкой жидкости в скрученных каналах сложного профиля методом R-функций // Пробл. машиностроения.—2001.— Т.4, №3-4.—С. 108-116.

2. Рвачев В.Л., Максименко-Шейко К.В., Шейко Т.И. Математические модели физических полей в скрученных цилиндрах произвольного сечения // Вісн. Запоріз. держ. ун-ту.— Запоріжжя, 2001.— №1. —С. 54-60.

3. Максименко-Шейко К.В., Шейко Т.И. Математические модели скалярных полей в змеевиках произвольного сечения // Вісн. Запоріз. держ. ун-ту.— Запоріжжя, 2002.— №2. —С. 65-74.

4. Максименко-Шейко К.В. Некоторые новые классы пространственных краевых задач, сводящиеся к двумерным // Доп. НАН України.—2003.—№1.—С.25-28.

5. Рвачев В.Л., Максименко-Шейко К.В., Шейко Т.И. Математические модели движения несжимаемой вязкой жидкости по змеевикам // Вісн. Запоріз. держ. ун-ту.— Запоріжжя, 2002.— №3. —С. 69-76.

6. Рвачев В.Л., Максименко-Шейко К.В., Шейко Т.И. Математические модели движения несжимаемой вязкой жидкости по змеевикам в криволинейных неортогональных координатах // Пробл. машиностроения.—2003.—Т.6, №3.—С.64-69.

7. Рвачев В.Л., Максименко-Шейко К.В. Математические модели движения несжимаемой вязкой жидкости по скрученным трубам // Математические методы и физико-механические поля.— 2003.—46, №2.—С.81-88.

8. Максименко-Шейко К.В. Метод R-функций и новые классы трехмерных задач, сводящихся к двухмерным, для скрученных цилиндров // Вестн. НТУ “ХПИ”. Сб. науч. работ. Тем. вып.: Динамика и прочность машин. Харьков, НТУ “ХПИ”.—2003.—№8, т 3.—С.3-10.

9. Максименко-Шейко К.В. Метод R-функций (RFM) в скалярных и векторных краевых задачах математической физики для скрученных цилиндров и змеевиков // «XXIX Гагаринские чтения». Тез. докл. Междунар. молодеж. науч. конф., Россия, М., 8-11 апр. 2003 г.— М.: Изд-во «МАТИ»—РГТУ им. К.Э.Циолковского.— 2003.— Т.2.—С.40-41.

10. Максименко-Шейко К.В. Метод R-функций и новые классы трехмерных задач, сводящихся к двухмерным, для скрученных цилиндров // Інформ. технології: наука, техніка, технологія, освіта, здоров’я: Анот. доп. XI міжнар. наук.-практ. конф. 15-16 травня 2003 р.— Харків, НТУ «ХПІ».—2003.—С.105.

11. Maksymenko K.V. Mathematical model of placed current of a viscous liquid in twisted pipes // Eighth Intern. Conf. Math. Modeling and Analysis Abstract.— May 28-31, 2003.— Trakai, Lithuania, 2003.—P.46.

12. Максименко-Шейко К.В. Математическое моделирование движения несжимаемой вязкой жидкости в скрученных каналах // Материалы VI Междунар. конф. по мат. моделированию (9-14 сент. 2003 г., г.Херсон). Вестн. Херсон. гос. техн. ун-та.—Вып.3(19).—Херсон, ХГТУ.—2003.—С.249-252.