Анотація до роботи:

Здомський Л.С. Локальні та комбінаторні властивості топологічних груп. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06--алгебра і теорія чисел. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2006.

У першому розділі введено три нових локальних кардинальних iнварiантитопологiчних просторiв, а саме sb-характер, cs-характер i cs*-характер, і досліджено їхні базові властивості. Показано, що зліченність cs-характеру секвенціальної групи є еквівалентною до того, що топологічний простір групи є -простором. У цій характеризації -груп суттєвою є наявність деякої групової структури, пов'язаної з топологією. Зокрема вона хибна для топологiчно однорідних просторів.

В другому роздiлi охарактеризовано рiзноманiтнi властивостi типу обмеженостi вiльної (абелевої) топологiчної групи F(X) (A(X)). Це дозволяє довести, що (iснують моделi ZFC в яких) властивостi Скіперза (Менгера) є l-iнварiантними.

В третьому розділі показано, що кожна сепарабельна метризовна абелева група H є пiдгрупою сепарабельної метризовної подільної абелевої групи G. У доведеннi цього результату суттєво використовується аксiома вибору, і як наслідок дескриптивна структура топології на подільній групі невизначена.

У першому розділі введено три нових локальних кардинальних iнварiанти топологiчних просторiв, а саме -характер, -характер i -характер, і досліджено їхні базові властивості. Для секвенціальних топологічних груп зліченність -характеру характеризує -групи, що дає узагальнення результату М.М. Чобана і С.Й. Нєдева. У цій характеризації суттєвою є наявність деякої групової структури пов'язаної з топологією. Зокрема вона невірна для топологiчно однорідних просторів.

В другому роздiлi охарактеризовано рiзноманiтнi властивостi типу обмеженостi вiльної (абелевої) топологiчної групи () в термiнах властивостей тихонiвського простору . Цi властивостi є близькими до так званих селекцiйних принципiв, що дозволяє довести, що (iснують моделi ZFC в яких) властивостi Скіперза (Менгера) є -iнварiантними. Це дає метод побудови -недетермiновних топологiчних груп.

В третьому розділі показано, що кожну псевдонорму , визначену на пiдгрупi абелево групи , можна продовжити до псевдонорми на , для яко щiльностi псевдометричних топологiчних груп i збігаються. Як наслідок, кожна сепарабельна метризовна абелева група є пiдгрупою сепарабельно метризовної подільної абелевої групи .

Результати дисертації мають теоретичний характер і можуть бути використані в топологічній алгебрі та теоретико-множинній топології.

Основні результати першого та другого розділів мають форму критеріїв. В їх доведенні застосовано методи сучасної топологічної алгебри та теорії множин.