Анотація до роботи:

Станжицький О.М. Якісний аналіз диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями.—Рукопис. –Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико—математичних наук за спеціальністю 01.01.02—диференціальні рівняння.

Інститут математики НАН України, Київ, 2002.

Дисертація присв’ячена розробці нових якісних методів дослідження розв’язків систем диференціальних рівнянь з випадковими регулярними та сингулярними (типу “білого шуму ”) збуреннями. Для систем диференціальних рівнянь з випадковою імпульсною дією приведені умови існування її періодичних (в сенсі скінченно вимірних розподілів) розв’язків. Встановлено зв’язок між стійким інваріантним многовидом незбуреної детермінованої динамічної системи та існуванням періодичних розв’язків у системи що збурюється малими випадковими імпульсами. Для лінійних та слабко нелінійних систем з випадковими імпульсними збуреннями отримані умови існування , єдиності та стійкості періодичних розв’язків. За допомогою функцій Ляпунова досліджена стійкість за ймовірністю тривіального розв’язку імпульсної системи. Для імпульсних систем з випадковими збуреннями у випадкові моменти часу обґрунтовано принцип усереднення. Вивчено умови існування та стохастичної стійкості інваріантних множин систем з випадковою правою частиною та стохастичних систем Іто. Досліджено поведінку інваріантних множин при малих випадкових збуреннях. Для систем з регулярними випадковими збуреннями та стохастичних систем Іто обґрунтовано принцип зведення В.А. Пліса та загальний принцип зведення А.М. Самойленка в теорії стійкості. Отримано аналог другої теореми М.М. Боголюбова методу усереднення стосовно систем диференціальних рівнянь з регулярними випадковими збуреннями. Досліджена експоненціальна дихотомія в середньому квадратичному на додатній півосі розв’язків лінійних стохастичних систем Іто. Встановлено зв’язок між експоненціальною дихотомією та існуванням обмежених в середньому квадратичному на півосі розв’язків лінійних неоднорідних систем Іто. Для лінійних та слабко нелінійних стохастичних систем Іто вивчені умови існування обмежених в середньому квадратичному на осі, періодичних та стаціонарних розв’язків. Для розширень стохастичних систем Іто на торі одержані умови стохастичної стійкості інваріантних торів таких систем. Отримано інтегральне зображення випадкових інваріантних торів за допомогою функції Гріна—Самойленка. Досліджена середньоквадратична гладкість за параметром випадкових інваріантних торів. Для одного класу коливних систем доведена ергодична теорема про поведінку його розв’язків.

Дисертаційна робота присвячена розробці сучасних якісних методів дослідження систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями. Автором вперше одержано такі наукові результати:

1. Для періодичних у вузькому сенсі (в сенсі скінченно вимірних розподілів ) систем диференціальних рівнянь з випадковою регулярною правою частиною та випадковою імпульсною дією отримані необхідні та достатні умови існування періодичних розв’язків.

2. Досліджено поведінку стійкого, компактного інваріантного многовиду автономної системи звичайних диференціальних рівнянь при малих періодичних випадкових регулярних та імпульсних збуреннях її правих частин.

1. Отримані умови існування, єдиності та стійкості періодичних розв’язків лінійних та слабко нелінійних систем з випадковими імпульсними збуреннями.

2. В термінах функцій Ляпунова для імпульсних детермінованих систем отримано умови стійкості імпульсних систем з випадковими збуреннями.

3. Для систем з імпульсною дією у випадкові моменти часу обґрунтовано принцип усереднення.

4. Досліджені умови існування та стійкості інваріантних множин систем диференціальних рівнянь з випадковими регулярними збуреннями правих частин та систем стохастичних рівнянь Іто.

5. Для систем з регулярними випадковими збуреннями та стохастичних систем Іто отримані аналоги принципів зведення В.А. Пліса та А.М. Самойленка. Це дало змогу звести дослідження стійкості стохастичних систем до дослідження стійкості систем детермінованих.

6. Для систем диференціальних рівнянь з випадковими збуреннями обґрунтовано метод усереднення на нескінченному проміжку часу.

7. Досліджена експоненціальна дихотомія в середньому квадратичному лінійних стохастичних систем Іто

8. Для лінійних та слабко нелінійних стохастичних систем Іто зі змінною матрицею лінійної частини отримані достатні умови існування обмежених в середньому квадратичному на осі періодичних та стаціонарних розв’язків.

9. Одержано інтегральне зображення випадкових інваріантних торів лінійних стохастичних розширень динамічних систем на торі. Отримані умови існування інваріантних випадкових торів у слабко нелінійних коливних систем.

10. Для стохастичних систем з тороїдальним многовидом отримана ергодична теорема.

Публікації автора:

14.Станжицкий А.Н. Об инвариантных торах систем со случайными возмущениями //Сбор.Трудов Ин—та математики АН УССР.-- Киев.—1990.--С.37—42.

15.Станжицький О.М.Усереднення систем з імпульсною дією у випадкові моменти часу//Вісник Київського ун.—ту .—1993-- №2.—С.60—67.

16.Іщук В.В.,Станжицький О.М. Стійкість систем з випадковою імпульсною дією і функції Ляпунова//Вісник Київського ун.—ту .—1993. №3.—С.9—19.

17.Станжицкий А.Н.К вопросу о второй теореме Н.Н. Боголюбова для уравнений со случайными возмущениями//Укр.мат.журн.—1994--46,№8.—С.1104—1109.

18.Мартынюк Д.И.,Данилов В.Я., Станжицкий А.Н.О периодических решениях систем дифференциальных уравнений со случайной правой частью//Укр.мат.журн.—1997,--49,№2.—С.223—227.

19.Станжицький О.М.Дослідження інваріантних множин з випадковими збуреннями за допомогою функцій Ляпунова//Укр.мат.журн.—1998—50,№2.—С.309—312.

20. Самойленко А.М.,Станжицкий А.Н. Об инвариантных множествах дифференциальных уравнений со случайными возмущениями// Диф.уравнения.—1998.—34,№1.—С.54—59.

21.Станжицкий А.Н.Об устойчивости по вероятности инвариантных множеств систем со случайными созмущениями//Нелінійні коливання.—1998—1,№2.—С.138—142.

22.Станжицкий А.Н., Копась И.Н. Инвариантные множества дифференциальных уравнений с малыми случайными возмущениями.//Сбор. научн. трудов Ин—та математики НАН Украины “Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и их приложения.” Киев.—1997.—С.—197—200.

23.Станжицький О.М. Про рівномірну асимптотичну стійкість за ймовірністю систем з випадковими збуреннями// Доп. НАН України, Матем., природознавство, техн.—науки.—2000.--№1.—С.22—24.

24..Станжицький О.М. Дослідження стійкості інваріантних множин за допомогою локальних координат// Нелінійні коливання.—2000.—3.№2.—С.266—270.

25..Станжицький О.М.Дослідження інваріантних множин стохастичних систем Іто за допомогою функцій Ляпунова//Укр.мат.журн.—2001—53,№2.—С.282—285.

26.Перестюк М.О., .Станжицький О.М. Періодичні розв’язки систем диференціальних рівнянь з випадковою імпульсною дією// Теорія ймовірностей та математична статистика.—2000.—В.63.—С.119—124.

27. Станжицкий А.Н. О принципе сведения А.М. Самойленка для дифференциальных уравнений со случайными возмущениями// Диф. уравнения.—2001.—37,№2.—С.218—222.

28.Самойленко А.М., Перестюк Н.А.,.Станжицкий А.Н. О существовании периодических решений некоторых классов систем дифференциальных уравнений со случайным импульсным воздействием//Укр.мат.журн.—2001.—53,№8.—С.1102—1120.

29.Станжицький О.М.Про принцип зведення в теорії стійкості для систем з випадковими збуреннями//Укр.мат.журн.—2001—53,№9.—С.1232--1240.

30. Stanzhyts’ky O.M.Exponential dichotomy and mean square bounded solutions of linear stochastic Ito systems// Nonlinear Oscillations,Vol 4,№ 3.—2001.—P.389—398.

31. Станжицький О.М. Дослідження експоненціальної дихотомії стохастичних систем Іто за допомогою квадратичних форм//Укр.мат.журн.—2001—53,№11.—С.1545--1555.

32. Stanzhyts’ky O.M.Ergodic theorem for a class of Ito stochastic systems with toroidal manifold// Nonlinear Oscillations,Vol15,№1---2002.—С.21—29.

33.Самойленко А.М., .Станжицкий А.Н. Об инвариантных торах стохастических систем Ито//Укр.мат.журн.—2002—54,№4.—С.501—513.

34.Самойленко А.М.,.Станжицкий А.Н. Принцип сведения в теории устойчивости инвариантных множеств стохастических систем типа Ито// Диф. уравнения.—2002.—38,№5.—С.1—6.

149.Станжицкий А.Н. О флюктуациях в схеме усреднения для дифференциальных уравнений со случайной правой частью и случайным импульсным воздействием //Тезисы докладов школы—семинара “ Разрывные динамические системы”, Киев, 1989.—С.37.

150.Станжицкий А.Н. Флюктуации в схеме усреднения для дифференциальных уравнений со случайным импульсным воздействием //Тезисы докладов Всесоюзной конференции “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики”, Тернополь,1989.—С.42.

151.Станжицкий А.Н. Исследование оссцилятора со случайными возмущениями // Тезисы докладов Всесоюзной конференции “Разрывные динамические системы”, Яремча, 1990.—С.55.

152. Станжицкий А.Н. Усреднение в системах со случайными импульсами// Тезисы докладов Всесоюзной конференции “Разрывные динамические системы”, Ужгород, 1991.—С.32.

153.Ищук В.В.,Станжицкий А.Н. Исследование устойчивости систем со случайным импульсным воздействием методом функций Ляпунова // Тезисы докладов конференции “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики”, Киев, 1992.—С.31.

154. Ищук В.В.,Станжицкий А.Н. Интегральные множества стохастических систем // Тезисы Украинской конференции “Моделирование и исследование устойчивости систем”, Киев, 1995.—С.34.

155.Станжицкий А.Н. Об инвариантных множествах дифференциальных уравнений с малым случайным возмущением // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції “Диференціально—функціональні рівняння та їх застосування”, Чернівці, 1996.—С.183.

156. Станжицький О.М. Інваріантні множини систем з випадковими збуреннями і функції Ляпунова //Тези доповідей міжнародної конференції “Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань”, Київ, 1997.—С.165—166.

157. Станжицький О.М. Експоненціальна дихотомія в середньому квадратичному лінійних стохастичних систем Іто //Тези доповідей міжнародної конференції “Моделювання та оптимізація складних систем”, МООСС—2001,Київ, 2001.—С.137—138.

158. Станжицький О.М. Обмежені і періодичні розв’язки лінійних та слабко нелінійних стохастичних систем Іто //Тези доповідей Українського математичного конгресу ,Київ, 2001.—С.154—155.