Анотація до роботи:

Гашененко І.М. Інваріантні многовиди і множини припустимих швидкостей в задачах динаміки твердого тіла. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2008.

В дисертаційній роботі проведено систематичне дослідження інваріантних многовидів інтегровних та неінтегровних задач динаміки твердого тіла, розвинуто топологічні та геометричні методи дослідження інваріантних многовидів механічних систем з алгебраїчними інтегралами. Отримано нові форми диференціальних рівнянь руху твердого тіла і гіростата у вигляді системи другого порядку. Для системи Н. Ковалевського методами степеневої геометрії здобуто повний реєстр (з 16 сімей) точних розв’язків, зображуваних скінченними сумами раціональних степенів незалежної змінної.

Запропоновано новий метод дослідження та класифікації інтегральних 3-многовидів задач про рух твердого тіла і гіростата. У припущенні, що центр мас твердого тіла знаходиться в головній площині інерції, вивчено біфуркації спільних рівнів інтегралів енергії і моменту, надано повний опис топології інтегральних многовидів, досліджено проекції цих многовидів на конфігураційний простір, встановлено топологічну структуру шарувань на сфері Пуассона.

У загальній задачі про рух важкого гіростата впроваджено сім’ю глобальних перетинів Пуанкаре, досліджено їх властивості, топологію і біфуркації. Виявлені властивості фазових перетинів використано для класифікації проекцій інтегральних многовидів на рухомий простір кутових швидкостей. За допомогою створеної методики вивчено множину припустимих швидкостей твердого тіла з нерухомою точкою.

У дисертації розвинуто топологічні і геометричні методи дослідження інваріантних многовидів механічних систем з алгебраїчними першими інтегралами. Вивчено якісне поводження фазових траєкторій як у інтегровних випадках, так і в загальній задачі про рух твердого тіла навколо нерухомої точки. Здобуті результати поширено на більш загальну проблему задачу про рух навколо нерухомої точки важкого гіростата з постійним гіростатичним моментом. Наступні результати дисертації є основними:

1. Здійснено ізоінтегральну редукцію рівнянь руху твердого тіла (у більш загальній постановці гіростата) навколо нерухомої точки. Отримано нові форми диференціальних рівнянь руху у вигляді системи другого порядку, що істотно спрощує дослідження точних розв’язків з алгебраїчними інваріантними співвідношеннями.

2. У припущенні, що центр мас твердого тіла знаходиться в головній площині інерції, вивчено біфуркації спільних рівнів інтегралів енергії і моменту, надано повний опис топології інтегральних многовидів, досліджено проекції цих многовидів на конфігураційний простір, вказано топологічну структуру шарувань на сфері Пуассона. Проаналізовано трипараметричну сім’ю біфуркаційних діаграм і вивчено п’ятипараметричну сім’ю інтегральних многовидів. У результаті дослідження отримано 46 типів невироджених біфуркаційних діаграм і виявлено гладкий інтегральний 3-многовид , невідомий раніше в цій задачі.

3. У загальній задачі про рух важкого гіростата впроваджено сім’ю глобальних нетрансверсальних перетинів Пуанкаре, досліджено їх властивості, топологію і біфуркації. Виявлені властивості фазових перетинів використано для класифікації проекцій інтегральних многовидів на рухомий простір кутових швидкостей. За допомогою створеної методики цілком вивчено множину припустимих швидкостей твердого тіла з нерухомою точкою.

4. Для класичного гіроскопа Ковалевської досліджено трипараметричну сім’ю сингулярних поверхонь проекцій двовимірних інваріантних многовидів на рухомий простір кутових швидкостей. Надано класифікацію можливих типів цих поверхонь і визначено характерні якісні властивості рухомих годографів для всіх значень констант інтегралів, що відповідають невиродженим рухам гіроскопа Ковалевської. На основі детальної класифікації можливих форм годографів кутової швидкості запропоновано кінематичний опис квазіперіодичних рухів твердого тіла.

5. У інтегровному випадку, що узагальнив інтеграл Ковалевської на задачу про рух гіростата, знайдено біфуркаційну множину, у термінах топологічних інваріантів Фоменка описано еволюції і можливі перетворення торів Ліувілля на тривимірних ізоенергетичних поверхнях, аналітичними, чисельними і якісними методами досліджено асимптотичні рухи гіростата, при одному додатковому обмеженні на параметри механічної системи динамічні рівняння зведено до еліптичних квадратур.

6. Асимптотичний метод Ковалевської, методи й алгоритми степеневої геометрії використано для локального аналізу поводження розв’язків рівнянь ЕйлераПуассона. Отримано необхідні умови існування розв’язків з алгебраїчними інваріантними співвідношеннями. Досліджено рівняння Н. Ковалевського, знайдено всі розв’язки цих рівнянь, зображувані скінченними сумами раціональних ступенів незалежної змінної.

7. Вивчено розщеплення сепаратрис для несиметричного тіла, що обертається навколо нерухомої точки в слабкому полі тяжіння. Досліджено якісні властивості асимптотично маятникових рухів твердого тіла в рухомому і нерухомому базисах.

Публікації автора:

1. Гашененко И.Н. Геометрический анализ двухчастотных квазипериодических движений гироскопа Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 1990. – Вып. 22. – С. 1–10.

2. Гашененко И.Н. Новый класс движений тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Доклады АН СССР. – 1991. – Т. 318, вып. 1. – С. 66–68.

3. Гашененко И.Н. Один случай интегрируемости уравнений движения гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 1992. – Вып. 24. – С. 1–4.

4. Гашененко И.Н. Движение гироскопа Ковалевской при нулевой постоянной интеграла площадей/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 1993. – Вып. 25. – С. 7–16.

5. Гашененко И.Н. Бифуркационное множество задачи о движении гиростата, подчиненного условиям Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 1995. – Вып. 27. – С. 31–35.

6. Гашененко И.Н. Бифуркационное множество в задаче о движении тяжелого гиростата при условиях Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Доповіді НАН України. – 1997. – Вып. 2. – С. 60–62.

7. Гашененко И.Н. Подвижный годограф угловой скорости в решении С.В. Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 1998. – Вып. 26(I). – С.1–9.

8. Гашененко И.Н. Изоэнергетическая поверхность в задаче о движении твердого тела/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 1998. – Вып. 26(II). – С. 89–95.

9. Гашененко И.Н. О мероморфных решениях уравнений Эйлера–Пуассона/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 1999. – Вып. 28.– С. 1–8.

10. Гашененко И.Н. Интегральные многообразия и топологические инварианты одного случая движения гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 1997. – Вып. 29. – С. 1–7.

11. Гашененко И.Н. Инвариантные множества в пространстве угловых скоростей тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 79–87.

12. Gashenenko I.N. Angular velocity of the Kovalevskaya top/ I.N. Gashenenko// Regular and chaotic dynamics. – 2000. – V. 5, № 1. – P. 104–113.

13. Гашененко И.Н. Анализ изоэнергетических поверхностей для точных решений задачи о движении твердого тела/ И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер// Механика твердого тела.– 2001.– Вып. 31.– С. 18–30.

14. Гашененко И.Н. Огибающие поверхности в задаче о движении тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 39–49.

15. Гашененко И.Н. Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера–Пуассона/ И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер// Механика твер-дого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 50–59.

16. Гашененко И.Н. Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 20–32.

17. Gashenenko I.N. Enveloping surfaces and admissible velocities of heavy rigid bodies/ I.N. Gashenenko, P.H. Richter// Int. J. Bifurcation and Chaos. – 2004. – V. 14, № 8. – P. 2525–2553.

18. Гашененко И.Н. Бифуркации уровней первых интегралов в задаче о движении тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 37–46.

19. Гашененко И.Н. Интегральные многообразия задачи о движении несим-метричного гиростата/ И.Н. Гашененко// Труды ИПММ НАН Украины. – 2005. – Т. 10.– С. 24–31.

20. Гашененко И.Н. Бифуркации интегральных многообразий в задаче о движении тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Нелинейная динамика. – 2005. – Т. 1, № 1. – С. 33–52.

21. Ковалев А.М. О хаотических движениях и расщеплении сепаратрис возмущенного движения Гесса/ А.М. Ковалев, И.Н. Гашененко, В.В. Кири-ченко// Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 19–30.

22. Брюно А.Д. Конечные решения уравнений Н. Ковалевского/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 2005. – Вып.35. – С. 31–37.

23. Брюно А.Д. Простые точные решения уравнений Н. Ковалевского/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко// Доклады РАН. – 2006.– Т. 409, № 4. – С. 439–442.

24. Гашененко И.Н. Изоэнергетические поверхности в задаче о движении тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. – 2006. – Вып. 36. – С. 3–12.

25. Гашененко И.Н. О редукции уравнений Эйлера–Пуассона/ И.Н. Гашененко, Г.В. Мозалевская, Е.И. Харламова// Механика твердого тела. – 2007. – Вып. 37. – С. 69–84.

26. Гашененко И.Н. Поверхности постоянной энергии в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко// Математика в индустрии: межд. конф., 29 июня–3 июля 1998 г.: сб. трудов. – Таган-рог: ТГПИ, 1998. – С. 90–92.

27. Гашененко И.Н. Бифуркации интегральных многообразий задачи о движении гиростата Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Устойчивость, управ-ление и динамика твердого тела: межд. конф., 2-6 сент. 1996 г.: тезисы докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 1996. – С. 26–28.

28. Гашененко И.Н. Об инвариантных множествах в пространстве угловых скоростей твердого тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко// Устойчвость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 7-9 сент. 1999 г.: тезисы докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 1999. – С. 3.

29. Гашененко И.Н. Визуальное моделирование хаотической динамики тяже-лого твердого тела/ И.Н. Гашененко, К.А. Ручкин, С.В. Лапенко// Укр. мат. конгресс: 21-23 авг. 2001 г.:тезисы докл. – Киев, 2001. – С. 14–15.

30. Гашененко И.Н. Асимптотический метод Ковалевской в динамике твердого тела/ И.Н. Гашененко// Устойчивость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 3-7 сент. 2002 г.: тезисы докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2002. – С. 62–63.

31. Гашененко И.Н. Огибающие поверхности и допустимые скорости тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Устойчивость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 3-7 сент. 2002 г.: тезисы докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2002. – С. 63.

32. Гашененко И.Н. Интегральные многообразия уравнений Эйлера–Пуассона/ И.Н. Гашененко// 5-й межд. симпозиум по классической и небесной меха-нике, 23-28 авг. 2004 г.: тезисы докл. – В. Луки: ВЦ РАН, 2004. – С. 62–63.

33. Гашененко И.Н. Структура интегральных многообразий задачи о движении тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко// Классические задачи динамики твердого тела: межд. конф., 23-25 июня 2004 г.: тезисы докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2004. – С. 6.

34. Гашененко И.Н. Компьютерная реализация метода фазовых сечений в задаче о движении тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко, К.А. Ручкин// Устойчивость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 1-6 сент. 2005 г.: тезисы докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2005. – С. 5–6.

35. Брюно А.Д. Конечные решения уравнений Н. Ковалевского/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко// Устойчивость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 1-6 сент. 2005 г.: тезисы докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2005. – С. 72–73.

36. Гашененко И.Н. Об уравнениях движения твердого тела вокруг неподвиж-ной точки/ И.Н. Гашененко, Г.В. Мозалевская, Е.И. Харламова// Классичес-кие задачи динамики твердого тела: межд. конф., 9-13 июня 2007 г.: тезисы докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2007. – С. 18–19.

37. Gashenenko I.N. The study of non-integrable rigid body problems/ I.N. Gashenenko, P.H. Richter, S. Schmidt// Классические задачи динамики твердого тела: межд. конф., 23-25 июня 2004 г.: тезисы докл. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2004. – С. 6–7.

38. Gashenenko I.N. Finite solutions of the N. Kowalewski equations for motion of a rigid body about a fixed point/ I.N. Gashenenko// 12th Int. Conf. on Applications of Computer Algebra: 26-29 June 2006, Abstracts of Presentations. – Varna, Bulgaria, 2006. – P. 51.

39. Gashenenko I.N. Iso-energy manifolds and enveloping surfaces in the problem of rigid body motions/ I.N. Gashenenko, P.H. Richter// Классические задачи динамики твердого тела: межд. конф., 9-13 июня 2007 г.: тезисы докл.– Донецк: ИПММ НАНУ, 2007. – С. 90–91.

40. Харламов П.В. Двухчастотные маятниковые движения гироскопов Чаплы-гина и Ковалевской/ П.В. Харламов, И.Н. Гашененко// Всесоюз. конф. по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике: тезисы докл. – М., 1988. – Деп. в ВИНИТИ №8886-В-88.

41. Брюно А.Д. Последние разложения модифицированных движений твердого тела/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко. – М., 2005. – 13 с. – (Препринт/ ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №65).

42. Брюно А.Д. Простые конечные решения уравнений Н. Ковалевского/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко. – М., 2005. – 32 с. – (Препринт/ ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №68).