Анотація до роботи:

Тітова О.В. Геометричне моделювання дискретно представлених поверхонь на основі адаптивного ортонормування поліномів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Таврійська державна агротехнічна академія. – Україна, Мелітополь, 2006.

Захищається дисертація і 8 наукових праць, у яких пропонується новий метод побудови інтерполяційної поверхні із заданими позиційними і диференціальними властивостями на основі адаптивного ортонормування поліномів. Метод дозволяє будувати інтерполяційні криві і поверхні, які задовольняють заданим лінійним диференціальним рівнянням, позиційним і диференціальним умовам у вузлах інтерполяції; будувати інтерполяційні криві і поверхні заданого класу функцій при довільному розташуванні вузлів інтерполяції; будувати сімейство інтерполяційних однопараметричних поверхонь і інтерполяційні гіперповерхні в - вимірному просторі.

На основі запропонованого методу побудови інтерполяційної поверхні розроблено спосіб розв’язання стаціонарної і нестаціонарної задач теплопровідності з дискретними початковими і крайовими умовами І, ІІ, ІІІ роду та дискретно-неперервними крайовими умовами. Спосіб на відміну від відомих методів дозволяє при дискретних крайових умовах будувати розв‘язок задачі у вигляді інтерполяційної поверхні (або сімейства поверхонь), будувати розв‘язок на областях довільної форми при довільному розташуванні вузлів на межі області.

Результати досліджень впроваджені у виробництво при моделюванні розподілу поля температур, а також у навчальному процесі.

На основі проведених у дисертаційній роботі досліджень розв’язана важлива науково-технічна задача побудови якісно нових геометричних моделей у вигляді інтерполяційних кривих, поверхонь і гіперповерхонь із заданими позиційними і диференціальними властивостями на базі запропонованого в роботі методу адаптивного ортонормування поліномів. Метод дозволяє будувати інтерполяційні криві, поверхні і -вимірні гіперповерхні із заданими позиційними і диференціальними властивостями, які належать заданому класу функцій.

Основні наукові і практичні результати.

1. Аналіз існуючих інтерполяційних методів показав, що існуючі методи не мають загального підходу при побудові інтерполяційних поверхонь різних вимірів з різними видами умов, не дозволяють повною мірою враховувати складні позиційні і диференціальні умови, які пред'являються до моделі та через свою громіздкість є малоефективними при побудові інтерполяційних - вимірних гіперповерхонь.

2. Розв’язання поставленої науково-технічної задачі полягає в розробці нового методу побудови інтерполяційної поверхні на основі адаптивного ортонормування поліномів, який дозволяє:

будувати інтерполяційні криві і поверхні, які задовольняють заданим лінійним диференціальним рівнянням, позиційним і диференціальним умовам у вузлах інтерполяції;

будувати інтерполяційні криві і поверхні, які належать заданому класу функцій (алгебраїчні, тригонометричні, експоненціальні) при довільному розташуванні вузлів інтерполяції;

будувати інтерполяційно-апроксимаційні криві і поверхні за змішаним критерієм наближення;

будувати інтерполяційні гіперповерхні в - вимірному просторі і сімейство інтерполяційних однопараметричних поверхонь.

Запропонований метод на відміну від відомих, має загальний підхід і простий обчислювальний алгоритм для побудови інтерполяційних кривих, поверхонь і - вимірних гіперповерхонь при різноманітних позиційно-диференціальних умовах і критеріях наближення.

1. На основі запропонованого методу розроблено спосіб розв‘язання крайових задач з дискретними і дискретно-неперервними крайовими умовами на прикладі задачі теплопровідності, а саме:

• двовимірної і тривимірної стаціонарної задач теплопровідності з дискретними крайовими умовами I і II роду;

• стаціонарної і нестаціонарної задач теплопровідності зі змішаними крайовими умовами дискретно-неперервного характеру;

• нестаціонарної задачі теплопровідності з дискретними крайовими умовами I роду у вузлах , дискретними за змінною або неперервними за змінною ;

• нестаціонарної задачі теплопровідності з дискретними крайовими умовами III роду у вузлах , неперервними за змінною .

Запропонований спосіб відрізняється від відомих методів тим, що дозволяє отримати розв’язки на областях довільної конфігурації при довільному розташуванні вузлів на межі області і є загальним для різнорідних крайових умов. Для кожної із задач розроблено відповідні алгоритми і програмна реалізація.

4. Вірогідність отриманих результатів підтверджується розрахунками тестових прикладів, їхньою візуалізацією, збігом отриманих розв’язків з розв’язками відомими методами (метод розподілення змінних, метод сіток), а також розв’язанням практичних задач в процесі впровадження.

5. Здійснено впровадження. Методика розрахунку і її програмна реалізація прийняті до впровадження у ВАТ «МЗТГ» (м.Мелітополь) для прогнозування розподілу температурних полів усередині золотника гідророзподілювача Р12.3.

Розроблені розрахункові методики і їхня програмна реалізація прийняті до впровадження в вагонному депо станції Мелітополь Придніпровської залізниці для моделювання температурних полів всередині гребенів колісної пари при експлуатації установок КТ-068 і КТ-066.

Практичні і теоретичні результати досліджень використовуються в навчальному процесі Таврійської державної агротехнічної академії (м.Мелітополь) в курсах «Прикладна математика», «Економетрія», «Обчислювальні методи і методи математичного моделювання».

6. Використання отриманих результатів на практиці доцільно при побудові геометричних моделей явищ і процесів за наперед заданими лінійними позиційними і диференціальними характеристиками. Розроблений метод можна застосовувати для геометричного моделювання явищ теплопровідності і теплообміну з дискретними початковими і крайовими умовами І, ІІ, ІІІ роду, для розв’язання інших крайових задач з дискретними крайовими умовами (задачі теорії пружності, задачі про прогин пластини, задачі про коливання твердого тіла), а також конструювати інтерполяційні криві, поверхні і гіперповерхні за наперед заданими позиційно-диференціальними умовами.

7. Подальший розвиток запропонованих досліджень можливо проводити в наступних напрямках: розширення кола критеріїв наближення і, як наслідок, розширення набору досліджуваних видів метрик і скалярних добутків; ускладнення видів спеціальних умов, що пред’являються до моделі; розв‘язання інших прикладних задач моделювання на базі вхідної дискретної інформації.

Публікації автора:

1. Малкіна В.М., Осадчук О.В. Аналіз похибки при апроксимації функції алгебраїчними поліномами//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. – Мелітополь: ТДАТА, 2002. – Т.17.– Вип.4. – С.105-107 (автором виконана програмна реалізація порівняльного аналізу способів побудови апроксимаційних кривих).

2. Малкіна В.М., Осадчук О.В. Моделювання дискретно поданої кривої за допомогою спеціальних ортонормованих поліномів//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2003. – Т.22. – Вип.4. – С.99-101 (автором запропоновано алгоритм побудови інтерполяційної кривої у вигляді розкладання за ортонормованими поліномами).

3. Малкіна В.М., Осадчук О.В. Інтерполяція дискретно представлених кривих ліній із заданими диференціальними властивостями у вигляді спеціального ряду типу Фур'є//Геометричне та комп’ютерне моделювання. – Харків: ХДУХТ, 2005. – Вип.10.– С.86-90 (автором запропоновано алгоритм побудови інтерполяційної кривої, яка належить заданому класу функцій).

4. Єремеєв В.С., Малкіна В.М., Осадчук О.В. Побудова інтерполяційних поверхонь із заданими диференціальними властивостями//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. Мелітополь: ТДАТА, 2005. – Т.29. – Вип.4. – С.18-21 (автором запропоновано алгоритм побудови інтерполяційної поверхні із заданими позиційними і диференціальними властивостями у вигляді розкладання за ортонормованими поліномами).

5. Найдиш А.В., Малкіна В.М., Осадчук О.В. Геометричне моделювання поверхонь з дискретно заданими диференціальними властивостями//Вестник Херсонского государственного технического университета. – Херсон: ХПТУ, 2005. – Вип.2(22).–С.219-222 (автором запропоновано спосіб розв’язання стаціонарної задачі теплопровідності з дискретними крайовими умовами).

6. Малкіна В.М., Осадчук О.В. Побудова геометричних моделей за змішаними критеріями наближення//Праці Таврійської Державної агротехнічної академії. – Мелітополь: ТДАТА, 2005. – Т.30. – Вип.4. – С.105-108 (автором запропоновано спосіб побудови інтерполяційно-апроксимаційної кривої за змішаним критерієм наближення).

7. Осадчук О.В. Розв’язання тривимірної задачі Діріхле з дискретно заданими крайовими умовами//Геометричне та комп’ютерне моделювання. – Харків: ХДУХТ, 2005. – Вип.13.– С.154-158.

8. Малкіна В.М., Тітова О.В. Розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності за допомогою спеціальних інтерполяційних поліномів//Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць.– Дніпропетровськ, 2006. – Вип.2(43). –– С.140 (автором запропоновано спосіб розв’язання нестаціонарної задачі теплопровідності з дискретно-неперервними крайовими умовами за змішаним критерієм наближення).