Анотація до роботи:

Мазуренко В. В. Дискретно-неперервні крайові задачі для узагальнених квазідиференціальних рівнянь. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

Дисертація присвячена дослідженню дискретно-неперервних крайових задач для векторних квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з коефіцієнтами-мірами і правими частинами – узагальненими похідними високих порядків від функцій обмеженої варіації. Автором використано методику, що базується на зведенні таких задач (з допомогою відомої ідеї введення квазіпохідних) до коректних систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з мірами. Застосування цього підходу дало можливість встановити спектральні властивості задач на власні значення, отримати зображення розв’язків неоднорідних крайових задач в інтегральній формі (з допомогою конструктивно побудованої матриці Гріна) та у формі Шмідта, довести теореми про розвинення вектор-функції в ряд Фур’є за повною ортонормованою системою власних векторів на скінченному проміжку, побудувати формули обернення та рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розвинення для напівнескінченного інтервалу. Також узагальнено теорію граничної точки й граничного круга Вейля на випадок систем диференціальних рівнянь першого порядку та квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з мірами у коефіцієнтах. Встановлено двосторонні оцінки для розмірності лінійного многовиду розв'язків з "інтегровним квадратом" на інтервалі .

Дисертація присвячена дослідженню дискретно-неперервних крайових задач для деяких класів диференціальних рівнянь і систем рівнянь з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах. Рівняння такого типу без додаткових обмежень на коефіцієнти є, загалом, некоректними, бо містять добутки узагальнених функцій. Тому в дисертаційній роботі на підставі відомих критеріїв виділено класи коректних квазідиференціальних рівнянь і систем рівнянь довільного скінченного порядку з коефіцієнтами-мірами і правими частинами – узагальненими похідними високих порядків від функцій обмеженої варіації.

У дисертації отримано такі результати:

досліджено задачі на власні значення для векторних квазідиференціальних рівнянь парного і непарного порядків з коефіцієнтами-мірами при загальних крайових умовах; визначено порядок і рід розв’язків як цілих функцій від спектрального параметра, що входить у рівняння лінійним чином;

з допомогою запропонованого аналогу теорії Гільберта-Шмідта вивчено неоднорідні крайові задачі для систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з мірами і для векторних квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з узагальненими функціями у коефіцієнтах і правих частинах. У випадку, коли спектральний параметр l не збігається з жодним із власних значень доведено єдиність розв’язку, в інших випадках встановлено необхідні й достатні умови існування розв’язків;

отримано зображення розв’язків неоднорідних крайових задач в інтегральній формі (з допомогою конструктивно побудованої матриці Гріна) та у формі Шмідта. Досліджено властивості матриці Гріна;

з’ясовано умови розвинення “довільної” вектор-функції в ряд Фур’є за повною ортонормованою системою власних векторів на скінченному проміжку, встановлено характер наближення функції та спосіб обчислення її коефіцієнтів Фур’є; побудовано також формули обернення та рівність Парсеваля, що відповідають теоремі про розвинення для напівнескінченного інтервалу;

узагальнено теорію граничної точки і граничного круга Вейля на випадок систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку та квазідиференціальних рівнянь довільного скінченного порядку з мірами у коефіцієнтах;

отримано двосторонні оцінки для розмірності лінійного многовиду розв'язків з "інтегровним квадратом" на інтервалі . У випадку, коли всі розв'язки мають інтегровний квадрат, показано, що розмірність є сталою.

Публікації автора:

1. Мазуренко В. В. Про звідність дискретно-неперервної крайової задачі до узагальненої схеми Аткінсона // Доповіді НАН України. – 2001. – №8. – С. 19-22.

2. Тацій Р. М., Мазуренко В. В. Дискретно-неперервні крайові задачі для квазідиференціальних рівнянь парного порядку // Математичні методи та фізико-механічні поля. – 2001. – 44, №1. – С. 43-53.

3. Тацій Р. М., Мазуренко В. В. Дискретно-неперервні крайові задачі для квазідиференціальних рівнянь непарного порядку // Математичні студії. – 2001. – Т. 16, №1. – C. 61-75.

4. Тацій Р. М., Стасюк М. Ф., Кісілевич В. В., Мазуренко В. В. Узагальнені дискретно-неперервні крайові задачі для векторного квазідиференціального рівняння четвертого порядку // Вісник НУ ”Львівська політехніка”: сер. Прикладна математика. – 2000. – №407. – С. 21-27;

5. Тацій Р. М., Стасюк М. Ф., Мазуренко В. В. Про порядок зростання розв’язків звичайного диференціального рівняння з узагальненими коефіцієнтами як функцій параметра // Вісник НУ ”Львівська політехніка”: сер. Прикладна математика. – 2000. – №411. – С. 311-317;

6. Тацій Р. М., Копач М. І., Мазуренко В. В. Про аналітичну залежність від параметра розв’язків узагальненого квазідиференціального рівняння другого порядку // Вісник Прикарпатського університету: Математика.Фізика.Хімія. – 1999. – Вип.2. – С. 3-6.

7. Мазуренко Віктор. Про коливання балок з дискретно-неперервним розподілом параметрів // Матеріали V Міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”. – Т.2. – Львів: Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача. – 2000. – С. 255-259.

8. Mazurenko V. V., Tatsiy R. M. Integrable-square solutions of vector quasidifferential equations // IX International Scientific Kravchuk Conference (16-19 May, 2002, Kyiv): Conference Materials.– 2002. – P. 322.