Анотація до роботи:

Шувар О. Б. Диференціально-граничні оператори в просторах вектор-функцій – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. – Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2003.

В дисертації досліджуються певні класи збурень лінійних необмежених операторів у гільбертовому просторі. Ці збурення змінюють не тільки закон дії оператора, але й його область визначення. В роботі доведено замкненість та щільну визначеність досліджуваних збурень, а, при певних обмеженнях, – критерії максимальної дисипативності та самоспряженості цих збурень. Отримані результати використано для дослідження деяких конкретних диференціально-граничних операторів. Зокрема, встановлено умову, яка гарантує повноту системи власних (вектор-)функцій диференціально-граничного оператора з матричними коефіцієнтами.

Досліджені класи збурень замкнених лінійних операторів в гільбертовому просторі, які (збурення) змінюють не тільки закон дії оператора, а й його область визначення. Особливу увагу приділено ситуації, коли незбурений оператор є диференціальним оператором в просторі (скінченновимірних або нескінченновимірних) вектор-функцій.

В роботі отримано такі нові результати.

1. Встановлено асимптотичні формули для власних значень та власних елементів диференціально-граничного оператора з матричними коефіцієнтами, область визначення якого описується за допомогою інтегральних крайових умов (за припущення, що справджуються умови регулярності типу Біркгофа).

2. Доведено, що резольвента оператора, описаного в попередньому пункті, є інтегральним оператором з ядром Гільберта–Шмідта і отримано оцінку для цього ядра, яка дає змогу встановити, що (при певних обмеженнях) будь-яка вектор-функція з області визначення досліджуваного оператора розкладається в ряд за його власними елементами.

3. Доведено замкненість, щільну визначеність та знайдені умови взаємної спряженості деяких лінійних операторів в гільбертовому просторі, завдяки чому відомі раніше результати В.Е. Лянце і О.Г. Сторожа поширені на нові класи операторів.

4. В термінах абстрактних граничних операторів, тобто у вигляді, який у випадку диференціальних операторів приводить безпосередньо до крайових умов, встановлені критерії максимальної дисипативності та максимальної акумулятивності певних збурень звужень операторів, спряжених до симетричних зі, взагалі кажучи, різними дефектними числами.

5. Отримані абстрактні результати застосовані для дослідження деяких диференціально-граничних операторів з операторними коефіцієнтами.

6. Доведено розв’язність і знайдено розв’язок задачі про мініміум однієї квадратичної форми, яка індукує диференціально-граничний оператор типу Штурма–Ліувілля.

Публікації автора:

1. Сторож О. Г., Шувар О. Б. Замкненість, щільна визначеність та умови самоспряженості диференціально-граничних операторів у просторі вектор-функцій // Доп. АН України. – 1993. - N 8. – C. 20–24.

   Сторож О. Г., Шувар О. Б. Умови максимальної дисипативності деяких диференціально-граничних операторів у просторі вектор-функцій // Доп. АН України. – 1994. – N 2. – C. 20–24.

   Шувар О. Б. Асимптотичні формули для власних значень диференціально-граничного оператора непарного порядку в просторі вектор-функцій // Вісник Державного університету “Львівська Політехніка” – 2000. – N 407. – С. 54–57.

   Шувар О. Б. Асимптотика власних значень диференціально-граничних операторів парного порядку в простолрі вектор-функцій // Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 2000. – 43, N 4. – С. 23–28.

   Сторож О. Г., Шувар О. Б. Про резольвенту та власні функції диференціально-граничних операторів непарного порядку з матричними коефіцієнтами // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех-мат. – 2001. – 59. – С. 15-25.

   Сторож О. Г., Шувар О. Б. Деякі спектральні властивості диференціально-граничних операторів парного порядку в просторі вектор-функцій // Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 2001. – 44, N 1. – С. 7-15.

   Сторож О. Г., Шувар О. Б. Про один клас майже обмежених збурень гладких звужень замкненого оператора // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 10. – С. 1396-1402.

   Сторож О. Г., Шувар О. Б. О дифференциально-граничном операторе, индуцированным квадратичной формой // В кн.: XVI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. – Нижний Новгород, 1991. – С. 218.

   Сторож О. Г., Шувар О. Б. Умови самоспряженості диференціально-граничного оператора у просторі вектор-функцій // В кн.: Тези Міжнародної конференції, присвяченої пам’яті академіка М. П. Кравчука. – Київ-Луцьк, 1992. – С. 202.

   Шувар О. Б. Асимптотика власних значень та власних функцій диференціально-граничного оператора в просторі вектор-функцій // В кн.: Всеукраїнська наукова конференція “Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь” (25 – 27 січня 1994 р., м. Дрогобич). Тези доповідей. – Київ, 1994. – С. 190.

   Storozh O. G., Shuvar O. B. On some spectral properties of differential-boundary operators in vector-function spaces // В кн.: Міжнародна конференція з функціонального аналізу. 22-26 серпня 2001р. Київ, Україна. Тези доповідей. – Київ, 2001. – С. 91-92.

   Шувар О. Б. Умова додатної визначеності одного диференціального–граничного оператора в просторі вектор-функцій // В кн.: Міжнародна наукова конференція “Нові математичні підходи до розв’язування диференціальних рівнянь” (1–5 жовтня 2001р., м.Дрогобич). Тези доповідей. – Київ, 2001. – С. 161.