Анотація до роботи:

Питьовка О.Ю. Двосторонні методи дослідження крайових задач. – Рукопис. Дисертація на здобуття ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.02. – диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Робота присвячена розробці нових конструктивних модифікацій двостороннього методу дослідження двоточкових, багатоточкових крайових задач та задач з параметрами в крайових умовах у випадку систем нелінійних диференціальних рівнянь.

Запропоновано нову конструктивну модифікацію двостороннього методу наближеного інтегрування двоточкових та багатоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом. Встановлено достатні умови існування та єдиності їх розв’язків, доведено теореми про диференціальні нерівності.

У роботі також побудовано та обґрунтовано нові модифікації монотонного двостороннього методу для дослідження та наближеного інтегрування задач з параметрами в нерозділених двоточкових крайових умовах у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку, вказано на один підхід прискорення їх збіжності.

Отримані в дисертаційній роботі наукові результати в теорії крайових задач доповнюють раніше відомі.

Провідною ідеєю дисертаційної роботи є розробка конструктивних модифікацій двостороннього методу, за допомогою яких проводиться дослідження двоточкових та багатоточкових крайових задач, а також задач з параметрами у крайових умовах.

Отримані такі основні результати.

1. Запропоновано нову модифікацію методу побудови двосторонніх наближень до розв’язку двоточкових крайових задач у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь з відхиляючим аргументом. Встановлено достатні умови існування та знакосталості їх розв’язків, вказано на один підхід прискорення збіжності побудованого двостороннього методу.

В порівнянні з раніше відомими результатами, в даному напрямку значно розширено клас двоточкових крайових задач, до яких може бути застосована розроблена модифікація двостороннього методу.

2. Побудовано двосторонній метод дослідження та наближеного інтегрування багатоточкової крайової задачі Валле-Пуссена, отримано достатню умову існування та єдиності її розв’язку, доведено теорему про диференціальні нерівності і дано практичний метод побудови вектор-функцій нульового наближення.

3. Для дослідження і наближеного інтегрування задач з параметрами в нерозділених двоточкових крайових умовах у випадку систем квазілінійних диференціальних рівнянь другого порядку побудовано та обґрунтовано нові модифікації монотонного двостороннього методу, вказано на один підхід прискорення їх збіжності.

Встановлено достатні умови існування та єдиності розв’язку досліджуваних задач при різних крайових умовах, доведено теореми про диференціальні нерівності.

4. Теоретичні викладки апробовано на модельних задачах.

Результати виконаних досліджень можна використовувати для розв’язання конкретних прикладних задач, математичними моделями яких служать нелінійні крайові задачі.

Публікації автора:

1. Маринець, В. В. Про один підхід дослідження задач з параметрами у крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю Питьовка // Нелінійні коливання. – 2008. – Т. 11, № 3. – С. 348–364.

2. Питьовка, О. Ю. Двосторонній метод дослідження задач з параметрами в крайових умовах [Текст] / О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. – 2006. – Вип. 12–13. – С. 92–98.

3. Питьовка, О. Ю. Про один підхід прискорення збіжності альтернуючого двостороннього методу [Текст] / О. Ю. Питьовка // Наук. Віс-ник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. – 2008. – Вип. 16. – С. 135–145.

4. Pytovka, O. A modified two-sided approximation method for a four-point Vallee-Poussin type problem [Text] / O. Pytovka // Miskolc Mathematical Notes – 2008 – Vol. 9, № 2. – P. 137–146.

5. Маринець, В. В. Про один підхід дослідження двоточкових крайових задач [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. – 2002. – Вип. 7. – С. 69–75.

6. Маринець, В. В. Двосторонній метод наближеного інтегрування крайових задач з параметром [Текст] / В. В. Маринець, Т. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. – 2004. – Вип. 9. – С. 32–44.

7. Маринець, В. В. Про одну задачу з параметром в крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Серія матем. та інформ. – 2005. – Вип. 10–11. – С. 70–76.

8. Питьовка, О. Ю. Двосторонній метод наближеного інтегрування крайових задач з параметрами в крайових умовах [Текст] / О. Ю. Питьовка // Науковий вісник Мукачівського технологічного інституту. – 2006. – № 2. – С. 23–31.

9. Маринець, В. В. Двосторонній метод дослідження задач з параметрами у крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Міжнар. наук. конф. «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування», (18–23 вересня 2006 р., Ужгород) : Тез. доп. – Ін-т математики НАН України, 2006. – С. 68–69.

10. Маринець, В. В. Прискорення збіжності альтернуючого двостороннього методу [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Міжнар. наук. конф. «Диференціальні рівняння, теорія функцій та їх застосування», (16–21 червня 2008р., Мелітополь) : Тез. доп. – Мелітополь, 2008. – С. 78–79.

11. Маринець, В. В. Про одну задачу з параметрами в крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Праці міжнар. конф. «Питання оптимізації обчислень (ПОО–ХХХІІ)», присвяченої пам’яті академіка В.С.Михалевича, (19–23 вересня 2005 р., смт.Кацивелі Крим) – К., Інститут імені В. М. Глушкова НАН України, 2005. – С. 139.

12. Маринець, В. В. Про одну задачу з параметром в крайових умовах [Текст] / В. В. Маринець, О. Ю. Питьовка // Міжнар. конф., присвячена 60-річчю кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка, (6–9 червня 2005 р.) : Тез. доп. – К., 2005. – С. 67.

13. Питьовка, О. Ю. Двосторонній метод дослідження задач з параметрами у крайових умовах [Текст] / О. Ю. Питьовка // ХІІ Міжнар. науково-практ. конф. «ХХІ століття: Наука. Технологія. Освіта.», (31 травня–1 червня 2007 р., Мукачево) : Тез. доп. – Мукачево, 2007. – С. 389–390.