Анотація до роботи:

Кириченко В.В. Дослідження руху твердого тіла в околі розв’язку Гесса. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2006.

В дисертації досліджуються властивості руху гіроскопа Гесса в околі розв’язка Гесса. Побудована область параметрів, що характеризує гіроскоп Гесса, в якій можливий рух. Дана класифікація годографів кінетичного моменту в розв’язку Гесса в залежності від значень сталих інтегралів енергії і площин. Здійснені аналітичні дослідження, а також комп’ютерні експерименти, які основані на чисельному вивченні двовимірних відображень Пуанкаре. Запропонований спеціальний вигляд перерізу Пуанкаре, за допомогою якого побудований і вивчений фазовий портрет руху. Аналітично обчислено інтеграл Мельникова, який характеризує перетин сепаратрис. Вивчено і описано механізм виникнення хаотичних рухів в околі розв’язку Гесса. Вказані основні властивості збуреного руху в нерухомому базисі.

В роботі детально досліджена множина рівномірних обертань гіроскопів Гесса і Горячева-Чаплигина. В околі цих рухів отримані лінеаризовані рівняння, знайдені їх перші інтеграли і отримані умови існування всіх лінійних і квадратичних інтегралів. Проведений аналіз отриманих інтегралів. Вивчена задача щодо вкладення інваріантних багатовидів в сім’ю інтегральних. Для випадків Ковалевської, Ейлера, Лагранжа записані рівняння Леві-Чивіта в головних осях і їх четверті інтеграли. Випадок Гесса розглянутий в головних та спеціальних осях. Для нього записані рівняння Леві-Чивіта і встановлено, що в цьому випадку існує додатковий інтеграл, для якого знайдено розклад поблизу кривої рівномірних обертань.

В дисертації вивчені властивості руху твердого тіла з нерухомою точкою за умов Гесса на інваріантному співвідношенні Гесса та поблизу нього. Виділимо найбільш важливі наукові результати, які отримані в дисертації.

1. Дана класифікація годографів кінетичного моменту у розв’язку Гесса в залежності від значень сталих інтегралів енергії і площин. В результаті чисельних та аналітичних досліджень встановлено, що на інваріантному співвідношенні Гесса є три типа розв’язків: розв’язки, які прямують до різних граничних циклів; розв’язки, які мають гомоклінічну структуру; розв’язки, що не мають граничних циклів. Побудовані усі типи розв’язків і вказані усі типи рухів в цьому випадку.

2. Для динамічної системи, що описує рух гіроскопа Гесса, запропонований і вивчений спеціальний вигляд перерізу Пуанкаре. За допомогою цього перерізу побудований і вивчений фазовий портрет рухів гіроскопа Гесса. Проведено дослідження переходу до хаосу в залежності від зміни параметрів системи. Основними з параметрів, що варіюються, є компоненти гіраційного тензора і значення інтегралів енергії і площин. Побудовані фазові портрети і досліджені стійкий і нестійкий розв’язки системи за умов існування розв’язку Докшевича.

3. Рівняння руху і інтеграли записані в параметрах Андуайе–Депрі. За допомогою нових канонічних змінних вивчені гетероклінічні траєкторії динамічної системи. В цих змінних розглянуті розв’язки незбуреної системи, рух фізичного маятника, який є окремим випадком руху гіроскопа Гесса. Вивчені розв’язки, близькі до маятникових, і збурені сепаратриси.

4. Інтеграл Мельникова обчислено аналітично вздовж незбуреної орбіти, яка з’єднує стійкий і нестійкий граничні цикли. Вивчений і описаний механізм виникнення хаотичних рухів в околі розв’язку Гесса.

5. Розглянута система лінійних диференціальних рівнянь довільної вимірності. Для цієї системи знайдені і дослідженні корені характеристичного рівняння і в залежності від їх вигляду надані відповідні перші інтеграли системи. Наведені рівняння першого наближення в околі особливих точок і за допомогою отриманих формул знайдені перші інтеграли лінеаризованої системи у випадках Гесса і Горячева-Чаплигіна.

6. Вивчена задача щодо вкладення інваріантних багатовидів в сім’ю інтегральних. Для випадків Ковалевської, Ейлера, Лагранжа записані рівняння Леві-Чивіта і їх четверті інтеграли. Випадок Гесса розглянутий в головних та спеціальних осях. Для нього записані рівняння Леві-Чивіта і встановлено, що в цьому випадку існує додатковий інтеграл, для якого знайдено розклад поблизу кривої рівномірних обертань.

Результати дисертації мають в основному теоретичне значення. В роботі апробовані і розроблені методи (метод годографів, метод перерізу Пуанкаре, метод дослідження виникнення хаосу за допомогою інтеграла Мельникова, метод побудови наближених розв’язків в околі особливих точок, метод дослідження інваріантних багатовидів динамічних систем за допомогою рівнянь Леві-Чивіта тощо), які можуть бути використані для подальшого вивчення обертань твердого тіла, що має нерухому точку і для подальшого розвитку теорії детермінованого хаосу.

Публікації автора:

1. Ковалев А.М., Кириченко В.В. Уравнения и интегралы движения гироскопа Гесса в окрестности равномерных вращений // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 87-93.

2. Кириченко В.В. Движение гироскопов Гесса и Горячева-Чаплыгина в окрестности равномерных вращений // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины.
   – 2001. – 5. – С. 50-55.

3. Кириченко В.В. Интегралы уравнений возмущенного движения гироскопа Горячева-Чаплыгина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. – 2002. – 7. – С. 75-81.

4. Ковалев А.М., Кириченко В.В. Годограф вектора кинетического момента в решении Гесса // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 9-20.

5. Ковалев А.М., Гашененко И.Н., Кириченко В.В. О хаотических движениях и расщеплении сепаратрис возмущенного движения Гесса // Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 19-30.

6. Кириченко В.В., Ковалев А.М. Специальные движения гироскопа Гесса // VII международная конференция “Устойчивость, управление и динамика твердого тела”. Тезисы докладов. – Донецк. – 1999. – С. 4.

7. Кириченко В.В. Интегралы линейных систем и свойства инвариантных многообразий Горячева-Чаплыгина и Бобылева –Стеклова // VIII международная конференция “Устойчивость, управление и динамика твердого тела”. Тезисы докладов. – Донецк. – 2002. – С. 67.

8. Кириченко В.В. Исследование фазового портрета системы Эйлера-Пуассона вблизи решения Гесса // IX международная конференция “Устойчивость, управление и динамика твердого тела”. Тезисы докладов. – Донецк. – 2005. – С. 81.

9. Кириченко В.В. Исследование движений гироскопа Гесса вблизи решения Гесса // Юбилейная конференция, посвященная 80-летию со дня рождения П.В. Харламова “Классические задачи динамики твердого тела”. Тезисы докладов. – Донецк. – 2004. – С. 34.

10. Кириченко В.В. Шифрование, основанное на хаотических траекториях системы Эйлера-Пуассона в случае Гесса // 10-я международная конференция “Системный анализ и управление”. Тезисы докладов – Евпатория. – 2005. – С. 156.