Анотація до роботи:

Гонтар О.Б. Асимптотичні властивості Simex-оцінок в моделях регресії з похибками у змінних. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 теорія ймовірностей і математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2009.

Розглянуто лінійну, поліноміальну та загальну нелінійну моделі регресії.

Показано, що в лінійних моделях при певному виборі функції екстраполяції Simex-оцінка є конзистентною та асимптотично еквівалентною

(у сильному сенсі) до оцінки методу повних найменших квадратів при невідомій дисперсії похибок вимірювання. Також показано асимптотичну нормальність Simex-оцінки як у випадку відомої, так і у випадку невідомої дисперсії похибок вимірюваня та знайдено явний вигляд асимптотичних коваріаційних матриць.

У дисертації доведено, що при певному виборі функції екстраполяції Simex-оцінка для поліноміальної моделі регресії з похибками в змінних буде конзистентною. Запропоновано модифікацію Simex-оцінки для малих вибірок, яка зберігає асимптотичні властивості оцінки.

Показано, що в нелінійній моделі регресії з похибками у змінних асимптотичним відхиленням Simex-оцінки від істинного значення невідомого параметра можна знехтувати у порівнянні з дисперсією похибки вимірювання, в той час як відхилення наївної оцінки від істинного значення параметра є асимптотично пропорційним до дисперсії похибки вимірювання. Подібні результати отримані і для задачі помилкової класифікації.

Дисертаційна робота присвячена вивченню асимптотичної поведінки Simex-оцінки у моделях регресії з похибками у змінних. Зокрема, розглянуто лінійну, поліноміальну та загальну нелінійну моделі регресії.

У дисертаційній роботі розглянуто три модифікації методу Simex для лінійної структурної моделі регресії з похибками у змінних. Показано, що ці оцінки є близькими до відомих конзистентних оцінок, доведено конзистентність та асимптотичну нормальність модифікацій Simex-оцінок для явної моделі регресії і доведено конзистентність модифікації Simex-оцінки для неявної моделі регресії. Результати моделювання ілюструються емпіричною щільністю розподілу оцінок.

Побудовано Simex-оцінку для поліноміальної моделі регресії з похибками у змінних. Доведено конзистентність побудованої Simex-оцінки, крім того, побудовано модифіковану оцінку так, що вона показує хороші чисельні результати для малих вибірок і не втрачає асимптотичних властивостей для великих вибірок. Результати моделювання підтверджують теоретичні викладки.

Обгрунтовано застосування поліноміальної екстраполяційної функції для побудови Simex-оцінки в загальній нелінійній моделі регресії з похибками в змінних. Ключовою ідеєю є застосування розкладу за формулою Тейлора граничних значень наївних оцінок за степенями дисперсії похибки у регресорах. Показано, що асимптотичним відхиленням Simex-оцінки від істинного значення невідомого параметра можна знехтувати у порівнянні з дисперсією похибки вимірювання, в той час як відхилення наївної оцінки від істинного значення параметра є асимптотично пропорційним до дисперсії похибки вимірювання.

Результат, отриманий для нелінійної моделі регресії, застосований до задачі помилкової класифікації бінарного регресора. Побудовано таку екстраполяційну модель, що асимптотичним відхиленням Simex-оцінки від істинного значення параметра можна знехтувати у порівнянні з нормою відхилення матриці міскласифікації від одиничної матриці.

Результати даної дисертаційної роботи можуть знайти практичне застосування в задачах економетрики і при аналізі біометричної інформації.