Анотація до роботи:

Климик Я. Л. Асиметричне навантаження пружного шару з жорстким круговим включенням. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

На підставі методу власних векторних функцій, теорії парних інтегральних рівнянь та нового допоміжного прийому попереднього інтегрування рівнянь парних систем дано розв’язок загальної векторної крайової задачі для пружного шару, всередині якого на деякій площині, яка паралельна його граничним площинам, задано змішані граничні умови з круговою границею їх розділу: всередині кола задано довільні дотичні переміщення, поза колом – умову неперервності переміщень і напружень. Задачу зведено до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду та алгебраїчних співвідношень для невідомих сталих. Через розв’язки інтегральних рівнянь і константи записано вирази всіх основних фізичних величин.

Як частинному випадку, особливу увагу присвячено задачі зміщення в пружному шарі жорсткого дископодібного включення у площині, яка паралельна граничним площинам шару. Розібрані частинні випадки, коли одну або обидві граничні площини шару віддалено на нескінченість, а також, теж як для частинного випадку, дано розв’язок аналогічної задачі руху жорсткого диску в шарі в’язкої рідини паралельно його стінкам. В усіх випадках виписані вирази основних фізичних величин задачі (переміщень і напружень, для стоксівського аналогу – швидкостей, напружень і тиску) та прослідковано асимптотичну поведінку переміщень на нескінченості, а також напружень (і тиску для стоксівського аналогу) при підході до краю диску. Записано також вирази для сили та моменту, що діють на диск при його зміщенні в шарі. Граничним переходом при прямуванні радіуса диску до нуля і умові сталості сили, що діє на його поверхню, отримано повний розв’язок для крайової задачі дії зосередженої сили в пружному шарі (та стокслету в шарі в’язкої рідини для стоксівського аналогу) паралельно граничним площинам шару. Виконано чисельні обрахунки фізичних величин для широкого діапазону вхідних параметрів задачі, що характеризують її геометрію. Досліджено та знайдено геометричне місце точок стагнації матеріалу при зміщенні диску в шарі. Всі результати чисельних обрахунків проаналізовано.

Наведемо основні результати та висновки дисертаційної роботи:

1. У дисертації запропоновано підхід, який дозволив ефективно розв’язати загальну векторну змішану крайову задачу для пружного шару, коли всередині нього на певній площині, що паралельна граничним площинам шару, задано граничні умови змішаного типу: у колі задано довільні дотичні переміщення, а поза колом – умова неперервності по переміщенням і напруженням. Запропонований підхід, що складається з етапу застосування методу власних векторних функцій і етапу перетворення та розв’язку одержуваних парних інтегральних рівнянь, дозволив отримати явні вирази для шуканих фізичних величин задачі. Причому у роботі шляхом порівняння з іншими методами показано, що отримані вирази фізичних величин є найпростішими.

2. Запропонований підхід дозволив найбільш повно розібрати такі випадки загальної задачі, як випадок задачі зміщення жорсткого дископодібного включення в серединній площині пружного шару, випадок, коли одну з граничних площин шару віддалено на нескінченість, випадок довільного розташування площини зміщення диску між граничними площинами шару та випадки аналогічних задач для рівнянь Стокса. За допомогою зазначеного підходу вдалося повністю розібрати також граничні випадки, коли обидві граничні поверхні шару віддалено на нескінченість, та коли всередині пружного шару діє зосереджена сила паралельно його граничним площинам. Для всіх задач вдалося записати явні вирази основних фізичних величин, та аналітично прослідкувати їх асимптотичну поведінку на великій віддалі від диску та на межі зміни крайових умов.

3. Підхід дав можливість для широкого діапазону параметрів, що характеризують геометрію, обрахувати знерозмірені значення головної сили та головного моменту, що діють на диск при його зміщенні. Знайдено цікавий факт, що залежність сили, що діє на диск, від відношення радіуса диску до відстані між ним та найближчою граничною площиною шару виявилася практично лінійною (відхилення від лінійності не перевищує ).

4. Підтверджене цікаве явище, що, як і для випадку сфероїда [8], для несиметричного випадку розташування площини диску між граничними поверхнями шару завжди існує таке її положення, при якому момент дорівнює нулеві. При віддаленні однієї з граничних поверхонь шару на нескінченість це положення зникає. Знайдено також, що при достатньо близькому положенні диску до найближчої граничної площини шару момент буде намагатися повернути передній край диску до цієї граничної поверхні.

5. Вдалося порахувати розподіли переміщень у шарі та напружень (і тиску для стоксівської аналогії) на площині диску для різних значень параметрів, що характеризують геометрію та для різних значень числа Пуасона m. Показано, що розподіли фізичних величин практично не залежать від m, коли . Для випадку симетричного розташування диску між граничними площинами шару знайдено також геометричне місце точок стагнації матеріалу шару при зміщенні диску.

6. Виявлено цікавий факт, що нормальне напруження на площині диску не буде рівним нулеві навіть для симетричного випадку її розташування та матиме кореневу особливість при підході ззовні до краю диску у випадку стисливого матеріалу і кореневу особливість при підході із середини у випадку несиметричного розташування диску в шарі.

7. Запропонований прийом перетворення одержуваних у задачі парних інтегральних рівнянь, як це показано у роботі, дозволив суттєво спростити вирази фізичних величин і інтегральних рівнянь.

8. Запропонований підхід з новою ідеєю попереднього інтегрування рівнянь парних систем може також бути перенесено у змішані крайові задачі з зовсім іншою канонічною геометрією внаслідок загальності підходу та його незалежності від вибраної в задачі системи координат.