Анотація до роботи:

Сохацький Ф.М. Асоціати та розклади багатомісних операцій.– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена вивченню багатомісних операцій за допомогою композиції. Викладено теорію асоціатів і поліагруп: доведено, що довільний частинно асоціативний сюр’єктивно-ін’єктивний групоїд є асоціатом; знайдено повний розклад операції асоціата з частково оборотним елементом; описано поліагрупи з точністю до ізоморфізму за модулем груп; знайдено залежності між класами поліагруп та бінарних груп. Описано поліагрупи, в яких коса операція є: сталою; регулярною; ендоморфізмом поліагрупи та має скінченний порядок. Доведено тривіальність роздільної лупи з властивістю оборотності. Введено і досліджено поняття схрещеної ізотопії і схрещеного ізоморфізму багатомісних операцій. Розроблено понятійний апарат класифікації функційних рівнянь на квазігрупах. Розв’язано систему функційних рівнянь асоціативності на множині операцій з оборотними елементами. Знайдено методи застосування функційних рівнянь до вивчення тотожностей на бінарних квазігрупах. Розроблено нові методи знаходження абстрактних характеристик алгебр операцій.

Доведено, що довільний частинно асоціативний сюр’єктивно-ін’єктивний групоїд є асоціатом і описано врівноважені тотожності першого роду в довільних асоціатах. Знайдено повний розклад операцій в асоціатах частково оборотними елементами і доведено, що їх вивчення зводиться до вивчення оноїдів, тобто асоціатів з оборотними елементами. Множина всіх оборотних елементів оноїда є його підквазігрупою, тобто поліагрупою, і збігається з групою оборотних елементів довільного його моноїда розкладу. Доведено, що період асоціативності оноїда дорівнює кількості косих до довільного оборотного елемента. Розв’язано системи функційних рівнянь асоціативності від однієї змінної над множиною операцій довільної множини, кожна з яких має оборотний елемент.

Знайдено залежності між алгебричними поняттями поліагруп і надасоціативних ізотопів груп та їх відповідниками в алгебрах розкладу. Знайдено алгоритм описання поліагруп з точністю до ізоморфізму за модулем бінарних груп та дано повний опис поліагруп, групи розкладу яких є циклічними. Знайдено метод визначення формул: класу алгебр розкладів поліагруп даного класу та класу поліагрупових замикань даного класу бінарних груп. Описано поліагрупи, в яких коса операція є: регулярною, сталою, ендоморфізмом поліагрупи; скінченного порядку.

Визначено групи: схрещених ізотопій, схрещених слабких ізоморфізмів, схрещених сильних ізоморфізмів, визначено їх дії на множині багатомісних операцій та вивчено їх властивості, знайдено залежність між роздільністю та схрещеною ізотопністю квазігрупових операцій. Описано багатомісні роздільні квазігрупи з властивістю оборотності та їх матриці оборотності і доведено, що кожна така нетривіальна квазігрупа є нероздільною.

Розроблено понятійний апарат для вивчення функційних рівнянь на квазігрупових операціях та їх застосування до аналізу тотожностей на квазігрупах, а також: описано властивості самодостатніх наборів підтермів; описано загальні парастрофно нескоротні квадратичні функційні рівняння від трьох і чотирьох предметних змінних; знайдено ознаки для тотожностей, які гарантують квазігрупі, в якій вони виконуються: ізотопності деякій (комутативній) групі, лінійності та алінійності ізотопа групи, скінченності коефіцієнтів лінійності; знайдено метод описання ізотопного замикання класів груп, а також ізотопних замикань спеціальних видів.

Визначено нову алгебру операцій з повним набором суперпозицій у сигнатурі (Т-клон) та знайдено абстрактні характеристики: класу Т-клонів і встановлено зв’язок з клонами, позиційних алгебр із селекторами, класів однотипних унарів комутувань багатомісних операцій. Розроблено метод знаходження абстрактних характеристик класів алгебр багатомісних операцій, сигнатура яких містить суперпозиції Манна.

Публікації автора:

1. Сохацкий Ф.Н., Абстрактная характеристика (2,n)-полугрупп n-арных операцій // Матем. исслед. – 1982. – Вып. 65. – С. 132–139.

2. Сохацкий Ф.Н. Многоместные разделимые квазигруппы со свойством обратимости // Матем. исслед. – 1990. – Вып.113. – С.89–99.

3. Сохацкий Ф.Н. Об ассоциативности многоместных операций // Дискретная математика. – 1992. – Т.4, Вып.1. – С.66– 84.

4. Sokhatskyj F., Syvakivskyj P. On linear isotopes of cyclic groups // Quasigroups and related systems. – 1994. – Vol. 1, №1(1). – P. 66–76.

5. Sokhatsky F. On superassociative group isotopes // Quasigroups and related systems. –1995. – Vol. 2, №1(2). – P. 101–119.

6. Сохацький Ф.М. Про ізотопи груп. I // Український математичний журнал. – 1995. – Т. 47, №10. – C.1387–1398.

7. Сохацький Ф.М. Про ізотопи груп. II // Український математичний журнал.-1995. – Т. 47, №12. – C.1692–1703.

8. Сохацький Ф.М. Про ізотопи груп. III // Український математичний журнал. – 1996. – Т. 48, №2. – C.251–259.

9. Сохацкий Ф.Н. О классах полиагрупп // Алгебраические исследования. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – С.114–131.

10. Sokhatsky F. On the associativity of multiplace operations // Quasigroups and Related Systems. – 1997. – № 4. – P. 51–66.

11. Сохацкий Ф.Н. О полиадических группах // Современная алгебра: Межвузовский сборник научных трудов. – 1997. – Выпуск 2(22). – С.79–94.

12. Sokhatsky F. Invertible elements in associates and semigroups. 1 // Quasigroups and Related Systems. – 1998. – Vol.5. – P.53–68.

13. Sokhatsky F.M. Some linear conditions and their application to describing group isotopes // Quasigroups and Related Systems. – 1999. – Vol. 6. – P. 43–59.

14. Sokhatsky F.M., Yurevych O. Invertible elements in associates and semigroups. 2 // Quasigroups and Related Systems. – 1999. – Vol. 6.– P. 61–70.

15. Сохацький Ф.М. Абстрактна характеристика класу унітарних позиційних алгебр операцій // Український математичний журнал. – 2002. – Vol. 54, №7. – P. 961–968.

16. Sokhatsky F.M. On Dudek’s problems on the skew operation in poliadic groups // East Asial Math. J. – 2003. – Vol.19, № 1. – P. 63–71.

17. Сохацький Ф.М. Про класифікацію функційних рівнянь на квазігрупах // Український математичний журнал. – 2004. – Т.56, № 9. – C.1259–1266.

18. Sokhatsky F.M. Commutation of operations and its relationship with Menger and Mann superpositions // Discussiones Math., General Algebra and Appl. – 2004. – 24. – P. 153–176.

19. Сохацький Ф.М. Нові клони операцій та їх абстрактна характеристика // Науковий часопис Нац. пед. ун-ту імені М.П. Драгоманова. Серія 1: Фізико-математичні науки. – Київ: Нац. пед. ун-ту імені М.П. Драгоманова, 2004. – № 5. – С.97–110.

20. Сохацький Ф.М. Про схрещену ізотопію та схрещений ізоморфізм // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. – 2005. – Вып. 11. – С.23–33.

21. Sokhatsky F.M., Yurevych O.V. On Commutativity and Mediality of Polyagroup Cross Isomorphs // Bulentinul Academiei de tiinte a Republicii Moldova. – 2005. – №3 (49). – P.141–152.

22. Сохацкий Ф.Н. Абстрактная характеристика (2,n)-полугрупп n-арных операций // Тезисы Второго Всесоюз. симпозиума по теории полугрупп. – Свердловск, 1978. – С. 88.

23. Сохацкий Ф.Н. Об ассоциативности n-арных операций // Девятнадцатая Тезисы Всесоюз. алгеб. конф. – Львов, 1987. – Часть 1. – С. 263.

24. Сохацкий Ф.Н. Об ассоциативности топологических n-квазигрупп // Те-зисы Бакинской междунар. топологичес. конф. – Баку, 1987. – Ч. 2. – С. 284.

25. Сохацкий Ф.Н. Об М-ассоциативных оперативах // Тезисы Третьего Всесоюз. симпоз. по теории полугрупп. – Свердловск, 1988. – С. 88.

26. Сохацкий Ф.Н. О каноническом разложении функций конечнозначной логики // Тезисы Второй Всесоюз. конф. по прикладной логике. – Новосибирск, 1988. – С. 224–225.

27. Сохацкий Ф.Н. Об автоморфизмах полигрупп // Тезисы Междунар. конф. по алгебре. Теория моделей и алгебр. систем. – 1989. – С. 129.

28. Сохацкий Ф.Н. О функциях логики, имеющих интервал приводимости // Тезисы Десятой Всесоюз. конф. по математ. логике. – Алма-Ата, 1990. – С. 148–149.

29. Sokhatskii F.N. About isomorphism of linear quasigroups // Тезисы Междунар. конф. по алгебре. – Новосибирск, 1991. – С. 138.

30. Sokhatskyj F.N., Marchuk E.A. About axioms of quasigroup associativity // Тезисы Междунар. конф. по алгебре. – Новосибирск, 1991. – С. 139.

31. Sokhatskii F.N. and Sivakovskii P.B. Quasigroups which are linear on a cyclic group // Тезисы Междунар. конф. по алгебре. – Новосибирск, 1991. – С. 140.

32. Sokhatskii F. Abstract characteristics of some classes of operation algebras // Тезисы Третьей междунар. конф. по алгебре. – Красноярск, 1993. – С. 442–443.

33. Sokhatsky F.M., Kirnasovsky O.U. Number of small order T-Qasigroups up to isomorphism // Тезисы Третьей междунар. конф. по алгебре. – Красноярск, 1993. – С. 405.

34. Sokhatsky F.M. Multiplace isotopical closures of clases of groups // Те-зисы Третьей междунар. конф. по алгебре. – Красноярск, 1993. – С. 440–441.

35. Sokhatsky F.M. Description of isotopical closure of group isotopes // Тезисы Третьей междунар. конф. по алгебре. – Красноярск, 1993. – С. 441–442.

36. Sokhatskyj F. Identities following from multiplace associativity // Proc. Colloquium on Semigroups. – Szeged, 1994. – P. 38.

37. Sokhatsky F. On Superassotiative Multiplace Group Isotopes // Proc. International algebraic coference. – St. Peterburg, 1995. – P. 133.

38. Sokhatsky F. Critearia of Elements Invertibility in Assotiates // Proc. International algebraic coference. – St. Peterburg, 1995. – P. 134.

39. Сохацький Ф.М. Багатомісні напівгрупи як напівгрупи перетворень // Тези Всеукраїнської наукової конф., присвяченої пам’яті професора П.С. Казимірського. Частина перша. – Львів, 1995. – С. 45–46.

40. Сохацький Ф. Про основні властивості багатомісних ізотопів груп // Те-зи П'ятої Міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. – Київ, 1996. – С. 104.

41. Сохацький Ф. Абстрактна характеристика селективних позиційних ал-гебр // Тези П'ятої міжн. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. – Київ, 1996. – С. 103.

42. Sokhatsky F. Abstract Characteristics of Classes of Operation Clones // Proc. Conf. on Univ. Algebra and Lattice Theory. – Szeged (Hungary), 1996. – P. 55.

43. Сохацький Ф. Абстрактна характеристика клонів операцій // Тези П'ятої міжнар. наукова конф. ім. акад. М. Кравчука. – Київ, 1996. – С. 104.

44. Kirnasovsky O.U., Sokhatsky F. Subquasigroups and Normal Congruences for Multiplace Group Isotopes // Тези Міжнар. алг. конф., присвяченої пам’яті проф. Л.М. Глускіна. – Слов’янськ, 1997. – С. 40–41.

45. Sokhatsky F. About minimal sort polyagroups // Тези Міжнар. алг. конф., присвяченої пам’яті проф. Л.М. Глускіна. – Слов’янськ, 1997. – С. 41–42.

46. Сохацький Ф.М., Дерієнко I.I. Про IP-квазігрупи, що ізотопні групам // Тези Міжнар. алг. конф., присвяченої пам’яті проф. Л.М. Глускіна. – Слов’янськ, 1997. – С. 123.

47. Sokhatsky F. About classification of General Balanced Functional Equations on 6 Quasigroups // Тези Другої міжнар. алгебр. конф. в Україні. – Вінниця, 1999. – С. 4.

48. Sokhatsky F. Abstract characteristic of a class of semigroup operation algebras // Proc. First Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova. – Chiinu, 2001. – P. 141–142.

49. Сохацький Ф.М., Коваль Р.Ф. Класифікація функційних рівнянь від чотирьох змінних // Тези Третьої міжнар. алгебр. конф. в Україні. – Суми: СумДПУ ім. А.С.Макаренка. – 2001. – С. 254–255.

50. Sokhatsky F.M. Commutativity of operations and its connection with Menger and Mann superpositions // Тези Третьої міжнар. алгебр. конф. в Україні. – Суми: СумДПУ ім. А.С.Макаренка. – 2001. – С. 108–110.

51. Sokhatsky F. A note on some group generalizations: n-ary groups, polyagroups and NP-polyagroups // Proc. Second Conference of the Mathe-matical Society of the Republic of Moldova. – Chiinu, 2004. – P. 299–300.

52. Sokhatsky F.M., Koval' R.F. A classification of general four variable quad-ratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups// Proc. Forth International algebraic conference in Ukraine. – Lviv, 2003. – P. 209–210.

53. F.M.Sokhatsky., R.F.Koval'. About a classification of quadratic parastrophically uncancellable functional equations on quasigroups // Proc. Second Conference of the Mathematical Society of the Republic of Moldova. – Chiinu, 2004. – P. 300–301.

54. Sokhatsky F.M. Group isotopy property functional equations // Proc. Fifth International algebraic conference in Ukraine. – Odessa, 2005. – P. 199–200.

55. Sokhatsky F.M., Yurevych O. On crossed isimorphisms // Proc. Fifth International algebraic conference in Ukraine. – Odessa, 2005. – P. 200–201.

А також тези звітних наукових конференцій Вінницького державного педагогічного університету імені Михайла Коцюбинського.