Анотація до роботи:

Манзюк О. С. -бімодулі над унітальними -категоріями. Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 алгебра і теорія чисел. Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

Дисертацію присвячено дослідженню деяких питань теорії -категорій. Зокрема в дисертації досліджено взаємозв’язок між різними підходами до унітальності для -категорій (доведено їх еквівалентність), побудовано та досліджено властивості вільних -категорій, розвинено теорію -бімодулів над -категоріями та в якості застосування останньої запропоновано узагальнення поняття функтора Серра для -категорій та встановлено критерії існування -функторів Серра.

При дослідженні використовувалися методи гомологічної алгебри та загальні теоретико-категорні методи, зокрема методи теорії збагачених категорій та замкнених мультикатегорій.

У дисертації отримані нові наукові результати з гомологічної алгебри та теорії -категорій. Темами дослідження є зв’язки між різними підходами до визначення унітальності для -категорій, властивості вільних -категорій та узагальнення поняття функтора Серра для -категорій.

Означення -категорії не вимагає існування тотожних морфізмів. Використання -категорій без тотожних морфізмів вимагає обережності: наприклад, в цьому випадку не існує розумного поняття ізоморфних об’єктів, поняття еквівалентності позбавлене сенсу і так далі. Для того, щоб розвинути всеохоплюючу теорію -категорій, необхідне поняття унітальної -категорії, тобто -категорії з тотожними морфізмами (які також називаються одиницями). Очевидне поняття строго унітальної -категорії, незважаючи на його технічні переваги, не є цілком задовільним: воно гомотопічно неінваріантне в тому сенсі, що воно не переноситься вздовж гомотопічних еквівалентностей. Різні означення (слабко) унітальних -категорій були запропоновані В. В. Любашенком, М. Концевічем та Я. С. Сойбельманом та К. Фукая. В другому розділі ми доводимо еквівалентність цих трьох означень (Теореми 2.1.6 та 2.3.3).

Третій розділ присвячений побудові та дослідженню властивостей вільної -категорії породженої диференціальним градуйованим колчаном. Ми доводимо, що забуваючий функтор з категорії -категорій та строгих -функторів до категорії диференціальних градуйованих колчанів має лівий спряжений, який ми, наслідуючи традицію в теорії категорій, називаємо функтором вільної -категорії. Ми описуємо -функтори з вільної -категорії до довільної -категорії та -перетворення між такими -функторами. Це дозволяє довести нам, що вільна -категорія задовольняє певну 2-категорну універсальну властивість (Теорема 3.5.1).

В четвертому розділі ми узагальнюємо поняття функтора Серра до довільних збагачених категорій. Ми досліджуємо будову та властивості функторів Серра в збагачених категоріях. Зокрема, ми вивчаємо поведінку функторів Серра при заміні замкненої симетричної моноїдальної категорії, в якій збагачені наші категорії.

В п’ятому розділі вводиться та досліджується поняття -бімодуля над парою -категорій у випадку довільного основного комутативного кільця. Зокрема ми показуємо, що поняття -бімодуля над -категоріями та еквівалентне поняттю -функтора з до диференціальної градуйованої категорії комплексів модулів над основним кільцем. Ми вводимо структуру диференціальної градуйованої категорії на сукупності -бімодулів і показуємо, що отримана диференціальна градуйована категорія ізоморфна -категорії -функторів .

Як застосування теорії -бімодулів ми викладаємо теорію -функторів Серра. Ми узагальнюємо означення поняття функтора Серра для -категорій та встановлюємо критерії існування -функторів Серра для -категорій. Зокрема ми доводимо, спираючись на результати четвертого розділу, що -функтор Серра індукує звичайний функтор Серра в нульовій когомології і навпаки, для -категорії замкненої відносно зсувів з існування функтора Серра в нульовій когомології випливає існування -функтора Серра (Теорема 5.6.6).

Публікації автора:

1. Lyubashenko V. V. The 2-category of strong homotopy associative -categories / V. V. Lyubashenko, O. Manzyuk // IV Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні, 4–9 серпня, 2003 р.: тези доп. Львів: Вид-во Львівського нац. ун-ту, 2003. С. 143–144.

2. Lyubashenko V. V. Free -categories / V. V. Lyubashenko, O. Manzyuk // Theory Appl. Categ. 2006. Vol. 16, № 9. P. 174–205.

3. Lyubashenko V. V. Unital -categories / V. V. Lyubashenko, O. Manzyuk // Problems of topology and related questions (V. V. Sharko, ed.), Vol. 3, Proc. of Inst. of Mathematics NASU, № 3. Kyiv: Inst. of Mathematics, Nat. Acad. Sci. Ukraine, 2006. P. 235–268.

4. Lyubashenko V. V. -bimodules and Serre -functors / V. V. Lyubashenko, O. Manzyuk // Geometry and Dynamics of Groups and Spaces, Progress in Mathematics, Vol. 265. Basel: Birkhuser Verlag, 2007. P. 565–645.

5. Manzyuk O. On definitions of unital -categories / O. Manzyuk // V Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні, 20–27 липня, 2005 р.: тези доп. Одеса, 2005. С. 133–134.